【MATLAB】(四)MATLAB在线性代数中的应用

文章目录

  • 前期教程
  • 概述
  • 一、矩阵
    • 1 矩阵的创建
      • a. 直接创建
      • b. 创建等距数组
      • c. 创建等比数组
      • d. 特殊矩阵
      • e. 创建对角矩阵
      • f. Vandermonde矩阵
      • g. 符号矩阵的生成
      • h. 多项式伴随矩阵
      • i. 高阶矩阵的创建
    • 2 矩阵的修改
      • 2.1 如何获取一个矩阵的大小
      • 2.2 矩阵中的元素操作
      • 2.3 一些特殊子矩阵的提取
    • 3 矩阵的运算
  • 二、线性相关与方程组
    • 1 多项式
    • 2 向量组的相关性和极大无关组
    • 3 齐次线性方程组的解
    • 4 非齐次线性方程组的解
  • 三、特征值与二次型
    • 1 求矩阵的特征值
    • 2 二次型的标准化
    • 3 二次型正定的判断

前期教程

  • 【MATLAB】(一)基本使用入门
  • 【MATLAB】(二)基本使用拾遗
  • 【MATLAB】(三)MATLAB在高等数学中的应用

概述

  本篇博客主要用于记录MATLAB在线性代数中的应用。

一、矩阵

1 矩阵的创建

a. 直接创建

x1 = [1 2 3 4];
x2 = [5,6,7,8];  //创建行向量,空格或逗号进行分隔列

x3 = [2;3;1;4];  //创建列向量,用分号分隔行
x3 = [2 3 1 4]';  //转置的方法创建列向量

A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9];
A = [1 2 3 
4 5 6
7 8 9];       //直接创建矩阵,用分号或换行实现分行

b. 创建等距数组

等距数组即线性代数中的向量,这种特殊的向量一般用于循环遍历,和高级语言中数组概念差不多,故也称为数组
【MATLAB】(四)MATLAB在线性代数中的应用_第1张图片
在这里插入图片描述
  注意:用步长的方式可能最后一个数取不到(最后一个数和第一个数的差值不是步长整数倍);但用函数linspace得到的数组是包含首位,共n个数(步长自动计算好了),n可以省略,省略时默认为100。

c. 创建等比数组

在这里插入图片描述
  和函数linspace一样,首位两个数都能取到,内部的等比已经计算好了。n值也可以省略,省略时默认为50。

d. 特殊矩阵

  • A = [ ] : 创建一个空矩阵,空矩阵大小为0
  • B = zeros(m, n) : 创建一个m行n列的零矩阵,如果只有一个参数n,则代表创建n阶方阵(下面的也类似)注意函数名有一个"s"!
  • C = ones(m, n):创建一个m行n列的全为1的矩阵,注意函数名有一个"s"!
  • D = eye(m, n):创建一个m行n列的单位矩阵,注意函数名没有"s"!
  • E = rand(m, n): 创建一个m行n列的在 [0, 1]均匀分布的随机矩阵,如果需要创建其他范围的随机矩阵,可以用其他表达式乘以该矩阵。
  • F = randn(m,n):创建一个m行n列的 标准正态分布(数据范围为[-1, 1]) 的矩阵。

e. 创建对角矩阵

【MATLAB】(四)MATLAB在线性代数中的应用_第2张图片

f. Vandermonde矩阵

在MATLAB中创建Vandermonde矩阵的调用格式为:V=vander(C),其中C为一个向量(行向量或列向量无所谓),表示 1 , a 1 , a 2 , . . . , a n − 1 1, a_1,a_2,...,a_{n-1} 1,a1,a2,...,an1,得到的矩阵的阶数为C的长度。需要注意的是,这里的Vandermonde矩阵是按行分的,而教材上是按列分的。看个例子就很容易明白了。
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g. 符号矩阵的生成

在MATLAB中,输入一个表达式,实际代入计算的是它的近似值,即算出表达式的值并取一个近似。这一点从MATLAB中无法利用自然对数 e e e参与计算即可得知。而符号矩阵的作用就是使矩阵在计算时代入有理表达式,并在计算结果中保留有理表达式。如下图所示。
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h. 多项式伴随矩阵

这里的伴随矩阵可不是线性代数中常用的 A ∗ A^* A,而是多项式的伴随矩阵,这个矩阵的特点在于它的特征值为该多项式的根。其计算原理如下图所示。
【MATLAB】(四)MATLAB在线性代数中的应用_第5张图片
调用方式为A = compan(P),其中P为多项式的系数,从高次到低次。

i. 高阶矩阵的创建

比较少用,有缘再更新。

算了,有需要的还是直接看这个链接吧 ~



2 矩阵的修改

2.1 如何获取一个矩阵的大小

  • [row, col] = size(A) %row为矩阵A的行数,col为A的列数

如果不需要某个参数,可以用 ~ 符号代替,表示参数缺省,如:

  • [row, ~] = size(A) %表示只取矩阵A的行数row

这个在其他可以省略参数中的函数是一样的,比如只需要第1个参数和第3个参数,而省略第2个参数,则必须用 ~ 代替。否则就会把第3个参数当作第2个参数。

此外,还有其他一些获取矩阵的行列的方式:

  • row = size(A, 1) %表示获取矩阵A的第一个参数,即行数
  • col = size(A, 2) %表示获取矩阵A的第二个参数,即列数
  • a = length(A) %返回值a = max{row, col}

2.2 矩阵中的元素操作

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【MATLAB】(四)MATLAB在线性代数中的应用_第8张图片

  需要注意的是:矩阵、向量的索引都是小括号(),只有三维矩阵的索引和元胞数组(cell)是用 {},千万别搞混了!

2.3 一些特殊子矩阵的提取

  • diag(A, k):表示将矩阵 A 的第 k 个对角线的元素提取组成列向量,若 k 省略 等价于k=0,表示主对角线元素。即该函数返回的是一个列向量
  • tril(A, k):表示提取矩阵A的第k个对角线以下的元素组成下三角矩阵,剩余部分补0,如果k省略,等价于k=0,即主对角线元素。该函数返回的是一个矩阵
  • triu(A, k):表示提取矩阵A的第k个对角线以上的元素组成上三角矩阵,剩余部分补0,如果k省略,等价于k=0,即主对角线元素。该函数返回的是一个矩阵
  • rot90(A):表示将矩阵A逆时针旋转90°,注意和转置运算区分开来!
  • fliplr(A):表示将矩阵A左右翻转
  • flipud(A):表示将矩阵A上下翻转

3 矩阵的运算

矩阵中常用的运算总结如下表:
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  注意区分带点运算符和不带点运算符!
  另外,左除和右除的差别在于逆矩阵乘的位置,如果是 A − 1 B A^{-1}B A1B,则是A\B(左除),等价于inv(A)*B,如果不是方阵,则相当于求 A X = B AX=B AX=B的解;
  如果是 B A − 1 BA^{-1} BA1,则是B/A(右除),等价于B*inv(A),如果不是方阵,等价于 X A = B XA=B XA=B的解。


二、线性相关与方程组

1 多项式

  • poly2sym( p ):输出以向量p为系数的多项式 p ( x ) p(x) p(x)

  • polyval(p, a):返回多项式 p ( x ) p(x) p(x) x = a x=a x=a时的值。

  • roots( p ):返回多项式函数 p ( x ) = 0 p(x)=0 p(x)=0的所有复数根

  • conv(p1, p2):返回多项式 p 1 ( x ) p1(x) p1(x) p 2 ( x ) p2(x) p2(x)的乘积结果的系数

  • [a, b]=deconv(p1, p2):返回 p 1 ( x ) p1(x) p1(x) p 2 ( x ) p2(x) p2(x)的商式a和余式b的系数。

  • collect(f):对符号多项式f(syms x,即f(x) )进行合并同类项

  • expand(f):对符号多项式f进行展开

  • horner(f):对符号多项式f进行嵌套分解
    【MATLAB】(四)MATLAB在线性代数中的应用_第10张图片

  • factor(f):对符号多项式进行因式分解

  • [a, b, r] = residue(p, q):将有理分式 p ( x ) / q ( x ) p(x)/q(x) p(x)/q(x)分解为最简分式之和。看下面这个例子:
    【MATLAB】(四)MATLAB在线性代数中的应用_第11张图片

  • [p, q] = residue(a, b, r):将简单分式之和合并为一个有理分式,即上面那个表达式的逆运算。

2 向量组的相关性和极大无关组

  • rank(A):求矩阵A的秩
  • rref(A):将A化为行简化阶梯形矩阵,且每个主元都化为1,其他非该行主元都化为0。如下图所示。
    【MATLAB】(四)MATLAB在线性代数中的应用_第12张图片

这个指令的一个重要应用就是可以求矩阵的逆,即将单位阵和被求矩阵放一起再进行简化。

  • [R, jb] = rref(A):输出A行变换后的阶梯型矩阵R和入选极大无关组的向量序号jb,因此jb是一个向量。如下图所示。
    【MATLAB】(四)MATLAB在线性代数中的应用_第13张图片

3 齐次线性方程组的解

  • B=null(A):输出A的基础解系的标准正交基,即得到的矩阵B的所有列向量为 A X = 0 AX=0 AX=0的解向量,且这些解向量标准正交。
  • B=null(A, ‘r’):输出A的基础解系,矩阵B的所有列向量为 A X = 0 AX=0 AX=0的解,且不进行正交化

  显而易见,比较常用的公式是后一个,即只求出基础解系。如果B矩阵为空矩阵,表示方程组 A X = 0 AX=0 AX=0只有零解,即A满秩。

4 非齐次线性方程组的解

首先补充一下理论知识:
【MATLAB】(四)MATLAB在线性代数中的应用_第14张图片
这里只讨论有解的情况。

  • 如果A为方阵,且A的行列式不为0,方程组有唯一解。
    此时可以用两种方式求解:①X=inv(A)*b或X=A\b;②克莱姆法则求解;③linsolve(A,b),这个函数要求A必须是行满秩(A可以不是方阵)。
  • 如果r(A)=r(A b)=r
    此时方程组的解由齐次通解和非齐次特解组成。这里介绍两种求特解的方式:①x0=pinv(A)*b,表示求A的广义逆矩阵,再与b向量相乘;②x0=A\b,用左除法求AX=b的解。需要注意的是,两种方式求得的解一般不同,前者求的是所有解中范数最小的一个,而后者求的是所有解中含零个数最多的一个。

三、特征值与二次型

1 求矩阵的特征值

  • d=eig(A):仅计算A的特征值(以向量形式d存放)
  • [V, D]=eig(A):其中,D为由特征值构成的对角矩阵,V为由特征向量作为列向量构成的矩阵,且使得 A V = V D AV=VD AV=VD成立。

这里有两个注意点:
1. 如果A不可相似对角化,仍然能够求出一个V矩阵,但是V矩阵不是满秩的
2. 这里得到的V矩阵是已经单位化后的矩阵,如果A为对称矩阵,则V为正交矩阵。

  • trace(A):计算矩阵A的迹。

2 二次型的标准化

  • [P, T] = schur(A):A为二次型矩阵,即实对称矩阵;T为A的特征值所构成的对角矩阵;P为T对应的正交变换的正交矩阵,P的列向量为A的特征值所对应的特征向量。

经过实验发现,这个函数的作用和eig函数是一致的,即对于实对称矩阵来说,两个函数都能得到其正交变换的矩阵。

3 二次型正定的判断

  一般判断二次型是否正定的方式是根据特征值,如果全为正数则为正定矩阵,但还有一种判断二次型是否正定的方法。

  • [R, flag]=chol(A):如果A正定,则返回参数flag为0,如果不正定,flag为非零整数。
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