python牛顿法与拟牛顿法_拟牛顿法实现（Python）
接着上篇写的
拟牛顿法其实也是很简单了。为什么要研究出这种方法呢，就是因为常规的牛顿法每次迭代更新x值时都要计算Hessian矩阵。这是个二阶导矩阵，当x的维度增大时，它的计算量也是成指数倍增加的。比如:
，那么H矩阵的维度就是n*n。
所以，我们就想拿个一阶矩阵来近似于Hessian矩阵。过程如下图：
其实思想都很简单。DFP方法是用一个G正定矩阵来近似于Hessian的逆矩阵，而BFGS方法是用一个B正定矩阵来近似于Hessian矩阵。两个矩阵的更新表达式如下所示：
公式看上去都大同小异的，虽然式子有很多，但求起来都挺简单的。另外，BFGS方法是当前最流行的拟牛顿法，收敛的也更快。
下面是我的代码复现。
BFGS算法：
def bfgs_newton(f, x, iters):
"""
实现BFGS拟牛顿法
:param f: 原函数
:param x: 初始值
:param iters: 遍历的最大epoch
:return: 最终更新完毕的x值
"""
# 步长。设为1才能收敛，小于1不能收敛
learning_rate = 1
# 初始化B正定矩阵
B = np.eye(2)
x_len = x.shape[0]
# 一阶导g的第二范式的最小值（阈值）
epsilon = 1e-5
for i in range(1, iters):
g = jacobian(f, x)
if np.linalg.norm(g) < epsilon:
break
p = np.linalg.solve(B, g)
# 更新x值
x_new = x - p*learning_rate
print("第" + str(i) + "次迭代后的结果为:", x_new)
g_new = jacobian(f, x_new)
y = g_new - g
k = x_new - x
y_t = y.reshape([x_len, 1])
Bk = np.dot(B, k)
k_t_B = np.dot(k, B)
kBk = np.dot(np.dot(k, B), k)
# 更新B正定矩阵。完全按照公式来计算
B = B + y_t*y/np.dot(y, k) - Bk.reshape([x_len, 1]) * k_t_B / kBk
x = x_new
return x
算法的执行效果如下：
可以看到，在第23次就收敛了。
DFP算法：
def dfp_newton(f, x, iters):
"""
实现DFP拟牛顿算法
:param f: 原函数
:param x: 初始值
:param iters: 遍历的最大epoch
:return: 最终更新完毕的x值
"""
# 步长
learning_rate = 1
# 初始化B正定矩阵
G = np.eye(2)
x_len = x.shape[0]
# 一阶导g的第二范式的最小值（阈值）
epsilon = 1e-5
for i in range(1, iters):
g = jacobian(f, x)
if np.linalg.norm(g) < epsilon:
break
p = np.dot(G, g)
# 更新x值
x_new = x - p * learning_rate
print("第" + str(i) + "次迭代后的结果为:", x_new)
g_new = jacobian(f, x_new)
y = g_new - g
k = x_new - x
Gy = np.dot(G, y)
y_t_G = np.dot(y, G)
yGy = np.dot(np.dot(y, G), y)
# 更新G正定矩阵
G = G + k.reshape([x_len, 1]) * k / np.dot(k, y) - Gy.reshape([x_len, 1]) * y_t_G / yGy
x = x_new
return x
算法执行效率如下：
可以看到，执行到1000次也没有收敛。由此证明了BFGS算法的收敛性确实要优于DFP算法。
最后，我还要提一提矩阵与向量的相关计算问题。我在这块儿吃了一些苦头，这儿推荐一篇
完整版代码在