除法取模与逆元

我们经常在做题时会看到这样一句话：由于答案较大，请输出答案mod m的结果。（其中m一般为一个大质数）
我们经常会使用以下几个等式：

(a+b)≡(amodm+bmodm)(modm)

(a−b)≡(amodm−bmodm+m)(modm)(a>b)

(a×b)≡(amodm×bmodm)(modm)

但是很容易发现，这三个等式中并没有除法。
那我们怎样处理除法呢? 这里就要使用到逆元。

我们定义若 b×b1modc=1 ，则称b1为b模c的乘法逆元。
并且有 (a÷b)modc=(a×b1)modc 。（其中 a÷b 为整除）

证明（反证法）：
假设 b×b1 ，则 (a÷b)modc≠(a×b1)
令， a÷b=k1×c+y1 , a×b1=k2×c+y2

<=>若 b×b1modc=1 ，则 y1≠y2
两式相减，则 a÷b−a×b1=(k1−k2)×c+(y1−y2)
设 k=k1−k2 ， y=y1−y2
有， a÷b−a×b1=k×c+y
左右乘以b，有 a×(1−b×b1)=k×b×c+b×y
左右模上c，
左边 =a×(1−b×b1)modc
=(a×(1modc−b×b1modc))modc
=0
右边 =(k×b×c+b×y)modc
=b×ymodc
a÷b 为整除，b显然不会是0，那么y必须是0，这与命题矛盾，证毕