概率论与数理统计学习：随机变量（一）——知识总结与C语言案例实现

Hello，大家好

这是第三期概率论与数理统计的学习，我将用这篇博客来整理我所学习的内容，及用C语言去做例题的过程。

那么这一期要学习的是随机变量的定义和离散型随机变量。还是一样，先总结知识点在再进行C语言案例实现。

随机变量的定义

啥是随机变量？

我们常把随机试验的结果与实数对应起来，也就是把随机试验的结果进行数量化。那么什么又是数量化呢？不要着急，先给出随机变量的定义：

定义：设$E$是随机试验，$\Omega$是其样本空间。如果对于每个$w\in \Omega$，总有一个实数$X(w)$与之对应，则称$\Omega$上的实值函数$X(w)$为$E$的一个随机变量。

从定义可以知道，随机变量是一个函数，它的自变量是随机试验的结果（也就是样本点）。那么随机试验结果的数量化就是将这个结果用某个具体的值来替代。例如，我们进行一次掷硬币的试验，它的结果只有正面朝上（$w_1$）或反面朝上（$w_2$），然后再用1来表示正面朝上，0表示反面朝上，于是就有：$X(w_1)=1,X(w_2)=0$，这就是所谓的数量化。

如果将$X(w)$简记为$X$，且试验的所有结果（$w_1,w_2,...,w_n$）都能用一个具体的实数（$X(w_1),X(w_2),..,X(w_n)$）来表示，则可用随机变量$X$来描述随机事件。要注意$X$是表示一个函数！！！！

下面再举例说明：

例如掷硬币中，可用$X=1$表示$w_1$：正面朝上，用$X=0$表示$w_2$：反面朝上。那么$P(X=1)$就表示正面朝上的概率，$P(X=0)$表示反面朝上的概率。

总结：之前我们都是用语言来具体描述一个试验的结果（也就是一个随机事件），引入随机变量后我们就可以用一个具体的值来表示一个随机事件（其实也不一定是具体的值，例如掷骰子中，$X\le 4$就可以表示掷到的点数小于4这一事件）。

离散型随机变量

随机变量也有很多种类型，常见的随机变量，根据其可能取值的整体情况，分为两大类：离散型和连续型。那么我们首先介绍介绍离散型~

☁️ 离散型随机变量

离散离散，啥是离散？科学的解释即连续的反义词就是离散，离散就是不连续。

那么对于随机变量$X$，如果它只可能取有限个或可列无限个（虽然是无限个，但可以一个一个地排列起来）值，则称其为离散型随机变量。

这样说得我都有点摸不着头脑了，还是举几个例子：

1. 掷硬币中，随机变量$X$只可能取0和1两个值，所以，$X$是离散型随机变量。
2. 电梯在一年中发生故障的次数，随机变量$X$只可能取0，1，2，…无限个，但是可以一个一个地排列起来，所以$X$是离散型随机变量。

那么再举一个连续性随机变量的例子作为对比：

例如，灯泡的使用寿命，对于随机变量$X$，它的取值不能一个一个地排列，而是充满了一个区间，所以$X$是连续性随机变量。

☁️ 离散型随机变量的概率分布

设离散型随机变量$X$所有可能取的值为$x_1,x_2,...$。

那么有$$P\{X=x_k\}=p_k,k=1,2,...$$
这些$p_k$满足：
$$\{\begin{array}{l}{p}_k\ge 0,k=1,2,...\\ {\sum }_{k=1}^{\infty }{p}_k=1\end{array}$$

概率分布体现了随机变量取各个可能值得概率的分布情况。

☁️ 常见的离散型随机变量的概率分布

☀️ 两点分布

若随机变量$X$只可能取0或1两个值，其概率分布为
$P\{X=1\}=p$
$P\{X=0\}=q$
其中，$0<p<1,q=1-p$，则称$X$服从参数为p的两点分布或（0-1）分布，记为$X$~$B(1,p)$

☀️ 二项分布

首先记住，二项分布就是一次试验只有两种结果，将这个试验进行n次。

将试验$E$在相同条件下重复进行n次，每次的结果都相互独立，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这n次试验是相互独立的。

设试验$E$只有两个结果：$A$和$\overline{A}$，记$P(A)=p,P(\overline{A})=1-p,0<p<1$，将试验$E$独立地重复进行n次，则称这n次独立重复的试验为n次伯努利试验，简称伯努利试验。

下面给出二项式的公式：$$P\{X=k\}=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$$
该公式的意义就是：进行n次试验，有$k$次结果为$A$的概率。

记为$X$~$B(n,p)$

☀️ 泊松分布

如果随机变量$X$的概率分布为：$$P\{X=k\}=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda },k=0,1,2$$
那么就称随机变量$X$服从参数为$\lambda$的播=泊松分布，记为$X$~$P(\lambda )$

$\lambda$是啥？它是一个常数，经常题目中会给出。这里就不多做讨论了，下面开始C语言案例的实现！！！！

C语言案例实现

在做题之前呢，首先写出要三种常见的离散型随机变量的概率分布的算法，别怕难！你难我也难

那么首先是两点分布（Two-Point Distrubution），可别看它简单啊，一样要动手写一些：

// m denotes the one of the two results ——m代表两种结果的一种结果
// n denotes the another result ——n代表两种结果中的另一种
void TPDistrbution(float m,float n)
{
	// p denotes the posibility of m; ——p代表m发生的概率
	// q denotes the posibilitu of n; ——q代表n发生的概率，也就是1-p
	float p = m / (m + n);
	float q = n / (m + n);
	printf("The posibility of m is :%f.\n",p);
	printf("The posibility of n is :%f.",q);
}

然后呢就是二项分布（Binary Distrubution）：

#include 
// combined algorithms ——组合算法
// it means the results of select m items in n items ——从n个中选m个的可能性
int Combination(int n,int m)
{
	int sum = 1,p = 1;
	for( ; m > 0 ; m--)
	{
		sum *= n--;
		p *= m;
	}
	return sum/p;
}

// in n tests,the result you expect will happen k times ——n次试验中，你期待的结果发生了k次
// and in one test,the posibility of it is p ——一次试验中，你期待的结果发生的概率为p
float BinDistrubution(int n,int k,float p)
{
	float _P;
	_P = Combination(n,k);
	for(int i = 0 ; i < k ; i++)
		_P *= p;
	for(int i = 0 ; i < n - k ; i++)
		_P *= (1 - p);
	return _P;
}

int main()
{
	// in five shooting tests,calculate the the posibility that you only make two shots ——在5次射击中，求你只射中两次的概率
	// the posibility of every time you make shot is 0.6 ———你每一次试验的概率为0.6
	float P = BinDistrubution(5,2,0.6);
	printf("%f",P);
	return 0;
}

紧接着就是那个啥泊松分布，不过这个泊松分布设计到了自然数$e$，它的后面可是有好多位小数的啊

不过咱自然不能服输，用C语言将$e$求出来！

首先呢，我们要知道$e$的计算公式：$$e=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}$$
同时我们也不能取$e$小数点后面的全部哇，所以只需要精确到小数点后6位即可。

#include 
float Figure_e(int n)
{
	float e = 1;
	int sum = 1;
	for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
	{
		sum *= i;
		e += 1.0 / sum;
	}
	return e;
}

int main()
{
	float a = Figure_e(20);
	printf("%.6f",a);
	return 0;
}

好！

go on!
泊松分布（Poisson Distrubution）：

#include 
#include 
float Figure_e()
{
	float e = 1;
	int sum = 1;
	for(int i = 1 ; i <= 20 ; i++)
	{
		sum *= i;
		e += 1.0 / sum;
	}
	return e;
}

// w denotes the parameter,and k denotes the result you expect ——w表示参数λ，k表示你所期待的结果
float PoiDistrubution(float w,int k)
{
	// figure out e first ——先把e算出来
	float e = Figure_e();
	// _P denotes the posibility of the result that you expect to happen ——_P表示你所期望的结果发生的概率
	float _P;
	// first figure out w to the k ——先将参数λ的k次方计算出来
	if(k == 0)
		_P = 1;
	else
		_P = pow(w,k);
	// cause w might be less than 1,so we better use the library function ——因为λ可能小于1，所以我们用库函数来求e的负λ次方
	_P *= 1.0 / pow(e,w);
	// according to the poisson formula,we need to divide by k! ——根据泊松公式，我们还需要除以k的阶乘 
	int sum = 1;
	for(int i = 1 ; i <= k ; i++)
	{
		sum *= i;
	}
	_P /= sum;
	return _P;
}

各种分布的代码有了，开始实战。

1. 电子线路中装有两个并联继电器，假设这两个继电器是否接通具有随机性，且彼此独立。已知每个继电器接通的概率为0.8，记$X$为线路中接通的继电器的个数。1）求$X$的概率分布。2）线路接通的概率。

1）

#include 
int main()
{
	// A1 denotes the possibility  of one of the relays was plugged on,and A2 denotes the posibility of another was plugged.
	// A1表示其中一个继电器被接通的概率，A2表示另一个继电器被接通的概率
	float A1,A2;
	// p denotes the posibility that the relay was plugged on ——p表示继电器被接通的概率
	float p = 0.8;
	// use an array to store the possibility distrubution ——用一个数组来存储概率分布
	float a[3] = {0};
	// use poss to record the possbility every time we have judged if the relay was plugged on ——用poss来记录每次判断一个继电器被接通或未被接通的概率
	float poss = 1;
	// 0 denotes the relay wasn't plugged ——0表示继电器未被接通
	// 1 denotes the relay was plugged ——1表示继电器被接通
	for(int i = 0 ; i < 2 ; i++)
	{
		i == 0 ? (poss *= 1 - p) : (poss *= p);
		for(int j = 0 ; j < 2 ; j++)
		{
			j == 0 ? (poss *= 1 - p) : (poss *= p);
			a[i + j] += poss;
			j == 0 ? (poss /= 1 - p) : (poss /= p);
		}
		i == 0 ? (poss /= 1 - p) : (poss /= p);
	}
	for(int i = 0 ; i < 3 ; i++)
		printf("X = %d,p%d = %.2f\n",i,i,a[i]);
	return 0; 
}

2）分析：什么情况线路被接通？因为这两个继电器是并联的，所以任意一个被接通整个线路就可以被接通。也就是说我们排除它不被接通的情况即可。当然我们也可以求它被接通的所有情况（只需对上述代码稍作改动）。这里的做法是求出它被连通的所有情况的概率总和。

#include 
int main()
{
	float A1,A2;
	float p = 0.8;
	float poss1 = 1,poss2 = 0;
	for(int i = 0 ; i < 2 ; i++)
	{
		i == 0 ? (poss1 *= 1 - p) : (poss1 *= p);
		for(int j = 0 ; j < 2 ; j++)
		{	
			j == 0 ? (poss1 *= 1 - p) : (poss1 *= p);
			if(i + j >= 1)
				poss2 += poss1;
			j == 0 ? (poss1 /= 1 - p) : (poss1 /= p);
		}
		i == 0 ? (poss1 /= 1 - p) : (poss1 /= p);
	}
	printf("The possbility of the incident X>=1 is :%.2f.",poss2);
	return 0;
}

2. 设每天每辆出租车出现故障的概率为0.02，某出租汽车公司共有出租车400辆，试求一天内没有出租车出现故障的概率。

分析：相当于是将观察辆出租车一天是否出现故障看成一次试验。每辆出租车是否出现故障与其它出租车故障无关。也就是说这个题是一个二项分布。

int main()
{
	// p denotes the possibility that the car breaks down ——p表示一辆出租车出现故障的概率
	float p = 0.02;
	printf("The possibility of the incident that no cars break down is :%f",BinDistrubution(400,0,p));
	return 0; 
}

3. 某一城市每天发生火灾的次数$X$服从参数$\lambda =0.8$的泊松分布，求城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率。

分析：因为它一天内发生火灾的次数没有上限，所以我们最好是排除它一天发生三次火灾一下的概率。

int main()
{
	float w = 0.8;
	float poss = 1 - PoiDistrubution(w,0) - PoiDistrubution(w,1) - PoiDistrubution(w,2);
	printf("The possibility of the incident X>=3 is : %f.",poss);
	return 0;
}

这期学习到此结束~~下期再见，各位一起加油！