高数基础-01函数

第一节 函数

高等数学公式思维导图
[该思维导图个人复习使用，如有错误，欢迎指出纠正以及交流 OAO]

• 函数概念
• 常见函数
• 函数性质

定义

（略）定义域、对应法则 $\to$ 值域

常见函数

符号函数、取整函数（$x-1<|x|\le x$）

复合函数（外层函数定义域 $\bigcap$ 内层函数值域 $\ne$ $\varnothing$）

反函数 (唯一映射关系，记作 $y=f^{-1}(x)$ ) $⟺$ $\forall x_1\ne x_2\in D$ $⟹$ $f(x_1)\ne f(x_2)$

• $f^{-1}[f(x)]=x=f[f^{-1}(x)]$
• 图像表现为 与原函数关于 $x=y$ 对称，关于$x=y$ 对称不一定为反函数，主要关于映射限制

注：不是所有函数都有反函数。单调函数一定有反函数，但反函数不一定单调（如：分段函数）

• 例： 求 $y=shx=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ $x关于y的函数$

初等函数

基本初等函数

幂函数，指数，对数，三角，反三角 统称为 基本初等函数

幂函数： $y=x^u,\sqrt{x},x,x^2,x^3,\frac{1}{x}$ 【反函数还是幂指数】

指数函数: $y=a^x(a>0,a\ne 1)$ $y=e^x$ 【反函数为对数】

对数函数: $y=lo{g}_{a}x(a>0,a\ne 1)$ $y=l{n}^x$

三角函数: $y=sinx,cosx,tanx,cotx=ta{n}^{-}1$

反三角函数: $y=arcsinx,arccosx,arctanx$

初等函数定义

由常数和基本初等函数 经过有限次的$+,-,\ast ,/$ 和 复合【构成】且用一个 解析式 表示的函数

函数性质

单调性

对于区间 $I$ 上任意两点 $x_1<x_2$ 恒有 单增 或 单减

奇偶性

设 $y=f(x)$ 的定义域 $D$ 关于原点对称，$\forall x\in D$ ,$f(-x)=f(x)$ 偶 ，$f(-x)=-f(x)$ 奇

常见奇函数: $sinx,tanx,arcsinx,arctanx,ln\frac{1-x}{1+x},ln(x+\sqrt{1+x^2})$ [分数有理化] $,\frac{e^x-1}{e^x+1},f(x)-f(-x)$

【记忆常见奇函数的方法就是证明一遍】

奇偶对称性在求值，求导化简中有重要作用

奇函数图形关于 原点 对称，且若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处有定义则，$f(0)=0$. 偶函数图形关于 $y$ 轴对称

周期性

若存在实数 $T$, 对于任意 $x$, 恒有$f(x+T)=f(x)$ ,则称 $y=f(x)$ 为周期函数。使得上述成立的最小正数 $T$ 成为 最小正周期 ，简称为 $f(x)$ 的周期

常见周期：$sinx,cosx,si{n}^{u}x(u为奇数)$ 周期为 $2\pi$ ,$sin2x,sin|x|,si{n}^{u}x(u为偶数)$ 周期为$\pi$

周期变化：若$f(x)$ 以 $T$ 为周期，则$f(ax+b)$ 以$\frac{T}{|a|}$ 为周期

有界性

若存在 $M>0$ , 使得对任意的 $x\in X$ ，恒有$|f(x)|\le M$, 则称$f(x)$ 在 $X$ 上有界

对于任意 $M>0$ , 至少存在一个的 $x_0\in X$ ，恒有$|f(x_0)|>M$, 则称$f(x)$ 在 $X$ 上无界 【反命题】

收敛数列 $⟹$ 有界

例： 证明函数 $f(x)=xsinx$ 是无界函数

证：由于 $f(2n\pi +\frac{\pi }{2})=2n\pi +\frac{\pi }{2}$ , 所以对于任意 $M>0$, 只要正整数 $n$ 充分大, 总有$|f(2n\pi +\frac{\pi }{2})|>M$