[MIT]微积分重点 第十二课 增长率和对数图 学习笔记

1.增长率

增长函数	$x$	$x^2$ ， $x^3$ ，…	$2^x$ ， $e^x$ ， $10^x$ ，…	$x!$ ， $x^x$ ，…
增长方式	线性增长	多项式增长	指数增长	阶乘增长
增长数量级	$10^3$	$10^6$ ， $10^9$ ，…	$10^{300}$ ， $10^{434}$ ， $10^{1000}$ ，…	$10^{2566}$ ， $10^{3000}$ ，…
取对数	$3$	$6$ ， $9$ ，…	$300$ ， $434$ ， $1000$ ，…	$2566$ ， $3000$ ，…

上表中，将 $x=1000$ 带入式子后，得到了增长的数量级，表格中是教授估算的值，我用计算器算了一遍，发现跟表中的值略有差异，不过表示增长的数量级是没问题的。

衰减函数就是增长函数的倒数：

衰减函数	$\frac{1}{x}$	$\frac{1}{x^2}$ ， $\frac{1}{x^3}$ ，…	$\frac{1}{2^x}$ ， $\frac{1}{e^x}$ ， $\frac{1}{10^x}$ ，…	$\frac{1}{x!}$ ， $\frac{1}{x^x}$ ，…

带入 $x=1000$ 再取对数后，分别是： $-3，-6，-9$ 等等。

2.对数图

对数尺度下 $0$ 和 $10$ 的中点是 $10^{1/2}$ ；将 $2$ 的乘幂（ $0124816\cdots$ ）排列，发现其是等距排列的（ $n\log 2$ ）; $0$ 在对数尺度上没有对应值，处于对数轴的无穷远端。

例：幂函数 $y=A{x}^n$ ，两边同时求对数得到： $\log y=\log A+n\log x$ ，下面画出 $y=x^{1.5}$ 的图像以及对数图。
画出图像后，发现原来的图拟合比较复杂；对数图是直线的，拟合比较容易，斜率也容易找。

指数函数 $y=B10^{cx}$ ，两边同时求对数得到： $\log y=\log B+cx$ ，这里纵轴用对数尺度，横轴用普通尺度。

例：比较瞬时斜率和平均斜率之差： $errorE=\frac{df}{dx}-\frac{\Delta f}{\Delta x}\approx A(\Delta x{)}^n$ ; $\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ 的误差为： $A(\Delta x{)}^1$（ $n=1$ ）; $\frac{f(x+\Delta x)-f(x-\Delta x)}{2\Delta x}$ 的误差为： $A(\Delta x{)}^2$（ $n=2$ ），准确度比原来大大提升了。