【题解】CSP2022-J第二轮题解

概述 & 前言

看到许多评价，说这次 $\text{CSP-J}$ 的比赛题目质量甚至不如你谷的模拟赛，再加上 whk 实在落下太多了，所以就没打算补题。但是学校的老师非让我补不可，说要决定一下以后课程的安排。于是，就补了。于是，就 AK 了。

总体来讲，我感觉这次比赛的题目质量虽然不算很好，但也说的过去。除了第二题裸的一元二次方程差评外，其它的题目出的还是挺好的。（第一题直接 $A^B$ 是不是有点过水？）

主观的难度评价（满分 $5$，相对与 PJ 其它题目来说）如下：

题目	思维难度	细节处理难度	代码复杂度
A. 乘方	1	1	1
B. 解密	1	1	1
C. 逻辑表达式	3	4	3
D. 上升点列	4	2	2

A. 乘方

题目链接：洛谷 P8813 [CSP-J 2022] 乘方

使用 暴力/快速幂 求 $a^b$ 即可。值得一提的是，这里使用暴力并不会超时。因为最坏情况底数为 $2$ 的话，也只需要乘 $30$ 次就会超过 $10^9$。但是实际运行下来，快速幂比暴力要快个几十毫秒，所以就贴快速幂的代码好了。

#include 
using LL = long long;
const LL MOD = 1e9;
LL n, m;
LL qpow(LL a, LL b) {
    LL ans = 1;
    for (; b; b >>= 1) {
        if (a > MOD) return -1;
        if (b & 1) {
            if (ans*a > MOD)
                return -1;
            ans = ans * a;
        }
        a *= a;
    }
    return ans;
}
int main() {
    scanf("%lld%lld", &n, &m);
    printf("%lld", qpow(n, m));
    return 0;
}

B. 解密

题目链接：P8814 [CSP-J 2022] 解密

题意太清晰了，一眼就能看出是一道数学题。

推导过程如下：
$$\{\begin{array}{l}n=p\times q①\\ e\times d=(p-1)(q-1)+1②\end{array}$$
化简 $②$ 式，得：
$$ed=pq-p-q+2③$$
将 $①$ 代入 $③$ 中，得：
$$ed=n-p-q+2$$
变形后得：
$$p+q=n-ed+2$$
按照题目「数据范围」中的字母，我们将 $n-ed+2$ 替换为 $m$，即
$$p+q=m④$$
代入 $①$：
$$p(m-p)=n$$
展开并整理为关于 $p$ 的一元二次方程：
$$p^2-mp+n=0$$
这个方程有解，当且仅当 $\Delta$ 为完全平方数。即：
$$\Delta =b^2-4ac=m^2-4n$$
所以原方程的解为：
$$p=\frac{m\pm \sqrt{m^2-4n}}{2}$$
由于 $p,q$ 必须要是整数，所以当 $m\pm \sqrt{m^2-4n}$ 为奇数时也应该输出 NO。

需要注意的是 $n$ 的取值范围是 $n\le 10^{18}$，注意开 long long。

#include 
#include 
using LL = long long;
int T;
LL n, d, e;
int main() {
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%lld%lld%lld", &n, &d, &e);
        LL m = n + 2 - e*d;
        LL delta = m*m - 4*n;
        if (delta < 0) {
            puts("NO");
            continue;
        }
        LL x = sqrt(delta);
        if ((double)x!=sqrt(delta) or ((m-x)&1)) {
            puts("NO");
            continue;
        }
        printf("%lld %lld\n", (m-x)/2, (m+x)/2);
    }
    return 0;
}

C. 逻辑表达式

题目链接：洛谷 P8815 [CSP-J 2022] 逻辑表达式

这道题呢，说简单也不简单，说难呢也没啥难的，思路十分好想，但是实现起来有一定难度。

本题的思路很简单，$[1,n]$ 的值，就是 $[1,p-1]$ 的值与 $[p+1,n]$ 的值运算后的结果，其中 $p$ 为 $[1,n]$ 括号外第一个逻辑运算符的下标。不难发现这就是一个递归的过程，所以直接模拟上述操作即可。

根据这个思路，我们不难设计出递归的参数：$solve(l,r,c)$ 代表当前递归要计算 $[l,r]$ 的值，并且以操作符 $c$ 作为这一轮递归的分界点。

现在的问题是每一层递归中应该干什么事情。由于「或」的优先级比「与」低，所以我们应该先找到 $[l,r]$ 中第一个或运算符的位置（为表示方便，下文将其用 $p_c$ 代替），这样 $[l,r]$ 就可以被分割为 $[l,p_c-1]$ 与 $[p_c+1,r]$ 这两个部分。由于找的是或运算符的位置，所以从 $[l,p_c-1]$ 中括号外的运算符一定全部为「与」。计算出 $[l,p_c-1]$ 的值（即 $solve(l,p_c-1{,}^{\prime }{\&}^{\prime })$ ）即可。

这样描述实在是太抽象了，再加上我表达能力有限，可能一些原本会做的同学都被我整不会了。所以我画了几张图，可能会更清晰一点。同时，在模拟样例的过程中，我们还可以发现一些前面没有提到的细节。

这张图已经说明了一切。

这里再补充一点。由于每次我们要跳过括号内的内容，所以我们要知道每一个括号与谁配对。如果每次都遍历字符串来找括号的话，那时间复杂度为 $\mathcal{O}(N)$，妥妥的超时。所以我们可以先预处理出与每个左括号配对的右括号的下标，然后用 $\mathcal{O}(1)$ 的时间复杂度找到下标。

#include 
#include 
const int N = 1e6 + 9;
char a[N];
int n, cntAnd, cntOr, nxt[N];
int tp, stk[N];
// nxt[i] 表示第 i 个位置的左括号匹配的右括号所在的下标是几
int find(int pos, int r, char c) {
    while (a[pos]!=c and pos<=r)
        if (a[pos] == '(') {
            pos = nxt[pos] + 1;
        } else {
            pos++;
        }
    return pos;
}
int solve(int l, int r, char tgt = '|') {
    while (nxt[l] == r) l++, r--, tgt = '|';
    if (l == r) return a[l] == '1';
    int p = find(l, r, tgt);
    int res = solve(l, p-1, '&');
    for (int t; p < r; p = t) {
        t = find(p+1, r, tgt);
        if (a[p]=='&' and res==0) {
            cntAnd++;
        } else if (a[p]=='|' and res) {
            cntOr++;
        } else {
            res = solve(p+1, t-1);
        }
    }
    return res;
}
int main() {
    scanf("%s", a + 1);
    n = strlen(a+1);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        if (a[i] == '(') stk[++tp] = i;
        else if (a[i] == ')') nxt[stk[tp--]] = i;
    printf("%d\n", solve(1, n));
    printf("%d %d\n", cntAnd, cntOr);
    return 0;
}

D. 上升点列

题目链接：P8816 [CSP-J 2022] 上升点列

很显然是一道 DP 题。一开始我想到的是 DP 每个坐标，但是这样肯定不行($10^9$)，于是就想着先打骗分 DP。然后写到循环后发现我重复做了非常多重复的操作。只需要 DP 每个点就可以了。再看了一眼点数的数据范围，小的可怜。于是正解就这么想出来了。

$n,k$ 的数据范围给我们了一个非常重要的提示，就是设计 DP 状态的时候可以依赖于这两个值。结合抄原题大法，很容易设计出 DP 状态：
$$f_{i,j}表示以第i个点结尾并且加j个点能构成的序列的最大长度$$
然后就根据这个状态，设计一个状态转移方程：
$$f_{i,l+dis(i,j)-1}=max\{f_{j,l}+dis(i,j)\}$$
其中，$l$ 表示第 $j$ 个点前加了 $l$ 个点

不要问我这个方程是怎么推出来的，问就是点这里

#include 
#include 
const int N = 509, K = 109;
struct Node {
    int x, y;
} a[N];
int n, k, ans, dp[N][K];
// f[i][j] 表示以第 i 个点结尾并且加 j 个点能构成的序列的最大长度
int dis(int p1, int p2) { return abs(a[p1].x-a[p2].x)+abs(a[p1].y-a[p2].y); }
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d%d", &a[i].x, &a[i].y);
    std::sort(a + 1, a + n + 1, [](const Node A, const Node B) {
        return A.x==B.x ? A.y<B.y : A.x<B.x;
    });
    for (int i = 1; i <= n; i++) { // 到第 i 个点
        dp[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j < i; j++) // 接到第 j 个点后面
            if (a[j].y <= a[i].y)
                for (int l = 0; l+dis(i,j)-1 <= k; l++) { // 第 j 个点前加了 l 个点
                    int t = l + dis(i, j) - 1;
                    dp[i][t] = std::max(dp[i][t], dp[j][l] + dis(i, j));
                }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j <= k; j++)
            ans = std::max(ans, dp[i][j]+k-j);
    printf("%d", ans);
    return 0;
}