【矩阵论】2. 矩阵分解——正规谱分解——正规阵

矩阵论
1. 准备知识——复数域上的矩阵与换位公式)
1. 准备知识——复数域上的内积域正交阵
1. 准备知识——相似对角化与合同&正定阵
2. 矩阵分解—— SVD准备知识——奇异值
2. 矩阵分解——SVD
2. 矩阵分解——QR分解
2. 矩阵分解——乔利斯分解&平方根公式
2. 矩阵分解——正规谱分解——正规阵
2. 矩阵分解——正规分解
2. 矩阵分解——单阵及特征值特征向量一些求法

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6.1 正规阵

6.1.1 正规阵定义

若方阵A满足 $A^{H}A=A{A}^H$ ，则A为正规阵

正规条件：$A^{H}A=A{A}^H$

6.1.2 正规阵特点

1. 正规阵必为方阵
2. $A正规⟺A^H正规$ ，$A不正规⟺A^H不正规$

6.1.3 常见正规阵

a. 对角阵

对角阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_1& & \\ & \ddots & \\ & & a_n\end{array}\right)$ 必正规

三角正规阵必对角

若三角阵 $B=\left(\begin{array}{cccc}{b}_1& b_{12}& \cdots & b_{1n}\\ & b_2& \cdots & b_{2n}\\ & & \ddots & \\ & & & b_n\end{array}\right)$ 正规，则 $B=\left(\begin{array}{ccccc}{b}_1& & & & \\ & b_2& & & \\ & & \ddots & & \\ & & & b_n& \end{array}\right)$ 为对角形

证明：严格三角阵不是正规阵
$$\begin{array}{rl}& 设B=\left(\begin{array}{ccc}{b}_1& b_{12}& b_{13}\\ & b_2& b_{23}\\ & & b_3\end{array}\right)为正规阵，B^H=\left(\begin{array}{ccc}\overline{b_1}& & \\ \overline{b_{12}}& \overline{b_2}& \\ \overline{b_{13}}& \overline{b_{23}}& \overline{b_3}\end{array}\right)\\ & B{B}^H=\left(\begin{array}{ccc}{b}_1& b_{12}& b_{13}\\ & b_2& b_{23}\\ & & b_3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\overline{b_1}& & \\ \overline{b_{12}}& \overline{b_2}& \\ \overline{b_{13}}& \overline{b_{23}}& \overline{b_3}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}|b_1{|}^2+|b_{12}{|}^2+|b_{13}{|}^2& & \\ & |b_{23}{|}^2+|b_2{|}^2& \\ & & |b_3{|}^2\end{array}\right)\\ & B^{H}B=\left(\begin{array}{ccc}\overline{b_1}& & \\ \overline{b_{12}}& \overline{b_2}& \\ \overline{b_{13}}& \overline{b_{23}}& \overline{b_3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{b}_1& b_{12}& b_{13}\\ & b_2& b_{23}\\ & & b_3\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}|b_1{|}^2& & \\ & |b_{12}{|}^2+|b_2{|}^2& \\ & & |b_{13}{|}^2+|b_{23}{|}^2+|b_3{|}^2\end{array}\right),\\ & 若B满足正规阵，则B^{H}B=B{B}^H,即\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{r}|b_1{|}^2=|b_1{|}^2+|b_{12}{|}^2+|b_{13}{|}^2\\ |b_{12}{|}^2+|b_2{|}^2=|b_{23}{|}^2+|b_2{|}^2\\ |b_3{|}^2=|b_{13}{|}^2+|b_{23}{|}^2+|b_3{|}^2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{r}|b_{12}{|}^2=0\\ |b_{13}{|}^2=0\\ |b_{23}{|}^2=0\end{array}\\ & \Rightarrow b_{12}=b_{13}=b_{23}=0，即B=\left(\begin{array}{ccc}{b}_1& & \\ & b_2& \\ & & b_3\end{array}\right)为对角形\end{array}$$

若分块阵 $A=\left(\begin{array}{cc}B& C\\ 0& D\end{array}\right)$ 正规，则C=0，且B，D都正规，$A=\left(\begin{array}{cc}B& 0\\ 0& D\end{array}\right)$
$$\begin{array}{rl}& A^{H}A=\left(\begin{array}{cc}{B}^H& 0\\ C^H& D^H\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}B& C\\ 0& D\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{B}^{H}B& B^{H}C\\ C^{H}B& C^{H}C+D^{H}D\end{array}\right)\\ & A{A}^H=\left(\begin{array}{cc}B& C\\ 0& D\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{B}^H& 0\\ C^H& D^H\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}B{B}^H+C{C}^H& C{D}^H\\ D{C}^H& C^{H}C+D{D}^H\end{array}\right)\\ & 由于tr(A^{H}A)=tr(A{A}^H),\therefore tr(C{C}^H)=0,\\ & 利用迹公式可写tr(C{C}^H)=\sum |c_{i,j}{|}^2=0，其中C=(c_{i,j})，C为零阵\\ & 且B{B}^H=B^{H}B,D{D}^H=D^{H}D\end{array}$$
由证明过程可见，严格三角阵为非正规阵

b. H阵与斜H阵

Hermite阵与斜Hermite阵必正规
$$\begin{array}{r}若A是Hermite阵，则A^H=A，A^{H}A=AA=A{A}^H\end{array}$$

• 实对称阵与反对称阵都是正规阵

c. U阵

U阵必正规（实正交阵）
$$\begin{array}{r}{A}^{H}A=I=A{A}^H\end{array}$$

6.1.4 正规阵的构造方法

a. 倍数法则

若A正规，取倍数k，则kA为正规阵，

$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{ccc}0& i& i\\ i& 0& i\\ i& i& i\end{array}\right)=i\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}i& i\\ i& 2i\end{array}\right)=i\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)都是正规阵\\ A=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}i& 1\\ 1& i\end{array}\right)为正规U阵，则\sqrt{2}A=\left(\begin{array}{cc}i& 1\\ 1& i\end{array}\right)\end{array}$$

b. 平移法则

若A正规，则 $A\pm cI$ 正规

$$\begin{array}{rl}若A是正规阵，则(A\pm cI{)}^H(A\pm cI)& =(A^H\pm cI)(A\pm cI)\\ & =A^{H}A\pm c{A}^H\pm cA+c^{2}I\\ & =A{A}^H\pm cA\pm c{A}^H+c^{2}I\\ & =(A\pm cI)(A^H\pm cI)\end{array}$$

c. U相似

若A正规，则 $Q^{H}AQ$ 也正规，其中Q为U阵($Q^H=Q^{-1}$)，即正规阵的U相似阵一定正规

证明：
$$\begin{array}{rl}& \because A^{H}A=A{A}^H，且存在U阵Q，使得Q^{H}AQ=B，即证B^{H}B=B{B}^H\\ & B^{H}B=(Q^{H}AQ{)}^H(Q^{H}AQ)=Q^H{A}^{H}Q{Q}^{H}AQ=Q^H{A}^{H}AQ\\ & B{B}^H=(Q^{H}AQ)(QA{Q}^H{)}^H=Q^{H}AQ{Q}^H{A}^{H}Q=Q^{H}A{A}^{H}Q\stackrel{A{A}^H=A^{H}A}{=}{Q}^H{A}^{H}AQ\\ & \therefore B^{H}B=B{B}^H,B为正规阵\end{array}$$

d. 多项式正规

若 A 正规，则 $f(A)={\lambda }_{0}I+{\lambda }_{1}A+{\lambda }_2{A}^2+\cdots +{\lambda }_n{A}^K$ 正规

6.1.5 正规阵与其H阵的特征向量相同

若A正规，则 $A^H$ 与 A 有相同的向量

$$\begin{array}{r}若A正规，且AX=\lambda X，则A^{H}X=\overline{\lambda }X\end{array}$$

证明
$$\begin{array}{rl}& 只需证(A^H-\overline{\lambda }I)X=0,即(A-\lambda I{)}^{H}X=0,由(A-\lambda I)X=0\\ & |A-\lambda I{|}^2=0\Rightarrow ((A-\lambda I)X{)}^H(A-\lambda I)X=0\Rightarrow X^H(A-\lambda I{)}^H(A-\lambda I)X=0\\ & 由于A-\lambda I正规，(A-\lambda I{)}^H(A-\lambda I)=(A-\lambda I)(A-\lambda I{)}^H\\ & 即有X^H((A-\lambda I{)}^H{)}^H(A-\lambda I{)}^{H}X=0\\ & \Rightarrow ((A-\lambda I{)}^{H}X{)}^H(A-\lambda I{)}^{H}X=|(A-\lambda I{)}^{H}X{|}^2=0\\ & \Rightarrow (A-\lambda I{)}^{H}X=0\Rightarrow (A^H-\overline{\lambda }I)X=0\Rightarrow A^{H}X=\overline{\lambda }X\\ & 故结论得证，若A正规，则AX=\lambda X⟺A^{H}X=\overline{\lambda }X\\ & 其中，若\lambda (A)=\{{\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n\},则\lambda (A^H)=\{\overline{{\lambda }_1},\cdots ,\overline{{\lambda }_n}\}\end{array}$$