matlab 线性方程 lu分解法_矩阵与数值计算（三）——Schur标准型和Jordan分解

前言

之前介绍过几种矩阵分解方法，都可以有效的提升矩阵方程的数值求解问题，其中LU分解尤其适合于中小型、稠密矩阵的求解问题。我们最理想的矩阵就是可相似对角化的矩阵，直接可以分解成两个酉矩阵和一个对角矩阵的形式，那么如果一个矩阵不符合可相似对角化的条件应该怎么解决呢？这里提出Jordan分解，提供了对不可相似对角化矩阵的分解解决方案。

一、Schur标准型

1. 定义

给定一个矩阵A，可以通过相似正交变换成一个上三角矩阵（任意n阶方阵），其实可以将LU分解中的L进行施密特正交化。

，其中R是上三角矩阵，U是酉矩阵。

上面将X分解为UR，其中U是酉矩阵，R是上三角矩阵。那么我们可以得出Schur分解的定义。

Schur分解

任意n阶方阵，酉相似于一个以其特征值为对角元的上三角矩阵R。

2. 特殊矩阵的特征系统

由Schur定理可以自然想到，什么样的矩阵会酉相似于对角矩阵呢？答案是正规矩阵。

正规矩阵

设

，若

，则称

为正规矩阵。

H这里表示共轭，类比于实数矩阵的转置的概念，因为矩阵中会包含虚数，所以使用H表示共轭。

Hermite矩阵：

斜Hermite矩阵：

酉阵：

对于上面这四种特殊的矩阵，对应的R各有不同，这里直接可以记忆结论：

• A为正规矩阵，R是对角矩阵。
• A为Hermite矩阵时，R是实对角矩阵。
• A为斜Hermite矩阵时，R是纯虚对角阵。
• A为酉矩阵，R对角元的模为1

二、代数重数与几何重数

先来了解特征值的代数重数和几何重数的概念。对任意一个矩阵，我们都可以写出其特征值的表达形式，

，则其中

就被称为特征值

的代数重数，与之对应的线性无关特征向量的个数，即子空间

的维数，称为

的几何重数。

代数重数与几何重数的关系

对任何一个n阶方阵A的特征值

对应的几何重数

和代数重数

，总有

。

半单与亏损

设A为n阶方阵，

为其特征值，

分别为其代数重数和几何重数，如果总有

，那么我们称这个特征值是半单的，否则如果几何重数小于代数重数，则称这个特征值是亏损的。

我们还可以引申出几条基本概念：

• 代数重数为1的特征值一定是半单的。
• 不同特征值对应的特征向量是线性无关的。
• 每个特征值都是半单的矩阵等价于相似对角化。
• 存在亏损的特征值的矩阵称为亏损矩阵等价于不可相似对角化。只要有一个特征值说亏损的就代表该方阵不可相似对角化。

由上面的定理和推论，我们知道一般的矩阵可以分为，可以相似对角化和不可相似对角化矩阵，那么对于不可想死对角化的矩阵我们就提出了Jordan分解，接下来了解一下具体什么是Jordan分解。

三、Jordan分解定义及Jordan标准块、Jordan标准型

1. Jordan块

我们称如下形式的矩阵为Jordan块，

Jordan块

2. Jordan标准型

简单来说，由若干个Jordan块构成的矩阵就是Jordan标准型。严谨的定义如下所示，

Jordan标准型

特别注意的一点是，如果不计Jordan块的顺序，则Jordan标准型唯一。

那么如何才能求解得到Jordan标准型呢？

四、Jordan分解求解方法

Jordan标准型的基本特点：

① Jordan标准型是一个块对角矩阵，对角元是矩阵A的特征值

②对于特征值

，他的代数重数是Jordan标准型中以

为特征值的Jordan块的阶数之和。

③对于特征值

，它的几何重数，即与

对应的线性无关的特征向量的个数，恰为以

为特征值的Jordan块的个数。

通过下面这张图片，更加清晰了解这个Jordan标准型的样貌。

Jordan标准型

直观来讲，如果有一个三阶矩阵，其三个特征值都相同，代数重数为3，几何重数为2，那么Jordan标准型如何呢？

Jordan标准型

那么其实对于该三阶矩阵来说其实Jordan标准型是唯一的（不考率Jordan块的顺序）。

但是，很容易我们想到4阶矩阵，就存在问题，如果代数重数是4，几何重数为2，那么存在两种可能的Jordan标准型。

两种可能的Jordan标准型

那么我们还记得上面的概念提到过，如果不考虑Jordan块的顺序，则Jordan标准型唯一，那么我们如何确定到底哪个是正确的呢？

这里引入一个判定公式：

阶数判定公式

为了计算上的简便，我们从一阶Jordan块开始计算，计算七阶数，如果其阶数为0，则我们就知道Jordan块是两个2阶的Jordan块。

通过上面的过程我们可以确定J的形式，那么如何确定T的形式呢？

求解变换矩阵T：

根绝

，继而我们有

，假设

，推导过程如下，

详细求解过程，可以参考下面的例题，

例题

Jordan分解的计算还是一如既往需要不断通过题目进行锤炼。

归纳一下计算步骤：

1.计算Jordan标准型

• 计算矩阵的全部特征值
• 计算特征值的代数重数
• 计算特征值的几何重数
• 利用定理确定每个Jordan块的阶数（从1阶开始计算）

2.计算变换矩阵T

• 求得Jordan标准型
• 计算每个Jordan块对应的Jordan链
  • 若Jordan块阶数为1，直接计算特征向量
  • 若阶数大于1，则先计算特征向量，利用特征向量的线性组合得到链首，保证线性方程组有解，即
    。

五、Hamilton-Cayley定理及其应用

利用Jordan变换，可以得到很重要的定理，Hamilton-Caylay定理，

Hamilton-Caylay定理

其应用非常广泛，可以通过这个定理简化矩阵计算。

例题

例题

上面的

中

的计算有两种方式，一种是多项式带余除数法，另一种是待定系数法。其中待定系数法，可以参看第三小问的求解方式，不论是这里还是之后的求解，都非常推荐使用待定系数法，降低计算量，提升计算的准确度。

总结

Jordan分解是非常重要的一种矩阵分解，应用非常广泛，无论是为了应试还是实际科研编程都是矩阵计算的利器，之后介绍的矩阵函数计算会再次使用到Jordan分解。

下一节，介绍同样非常重要的奇异值分解。