Dijkstra算法证明图解

前言：

Dijkstra算法算是比较经典的一个求单源最短路径的一个算法了，有向图和无向图都可以使用，对于采用邻接表还是邻接矩阵存储图也没有要求。

我在一开始学习这个算法的时候，虽然知道算法的具体处理流程，但是对于算法的原理却是一知半解，在做PTA一些算法题的时候遇到了稍微灵活的题目就歇菜了。所以翻看了一写文档，自己归纳整理了一下原理，也有一些自己的想法，如有不当之处，还望批评指正。

算法步骤

参数说明

start : 出发结点
end : 终点
S : 已确定最短路径的结点集合

算法描述

1.按题目要求建立邻接矩阵或者邻接表，将start放入S。

2.将所有结点在经过S中的结点到达start的距离放入lowcast数组（用于存放最短路径的长度）。

3.在lowcast数组中找到距离start最近且未在S中的结点Vi，将Vi收录进S，并更新和Vi有直接边相连的结点的lowcast的值（如果经过Vi离start更近，则更换lowcast为经过Vi的路径）。

4.重复步骤2,3,直到所有的的结点被收录进S。

算法过程图解

单源无向图：
第一步：

第二步：

第三步：
第4步：
第5步：

第6步：

算法可行性证明

一.数学归纳法：

假设前提：

1.有x个结点，lowcast为一个长为x的数组，lowcast的数组初始化为所有顶点经过S（已确定最短路径的结点集合，初始为∅）到达start的距离。
2.图为无向连通图。

可得lowcast有三种情况：

①没有和S中任何结点有边相连，值为inf
②start结点本身，值为0。
③与S中的编号为i结点有直接边相连，值为min{lowcast[x]+map[x][v]|x∈i}

归纳证明：

证明目标：
第n个被收录进S的结点一定已经找的了最短路径。

①当n=1时，即与start有直接边相连的结点距离start的最短路径，最短路径为与start直接相邻的边。当该结点V被收录进了S，与V直接相连的结点可以通过V到达start，所以需要更新与V有直接边相连的结点的lowcast的值。

②假设当n等于k时，所有S中的结点都已经找到了最短路径，所以当n为k+1时，寻找lowcast的最小值的节点V，该V必然与S中的结点有直接边相连（如果没有直接边，则距离start必为inf，而inf又是最小值，图一定不为连通图，与假设矛盾），因为S中的路径已经保证为最优路径，所以

L=min{distance{V->Vs}+lowcast(Vs)}(Vs为S中与V有直接边相连的结点)

就是V到start的最短路径长度，而L的计算已经在上一轮操作完成，即是lowcast的更新。
所以假设成立，证毕。

二.贪吃蛇法（个人理解）：

首先需要理解S是一个确定的集合，经过S的n个节点后到达start都可以理解为经过一个S到达start。很好理解，这里我不做证明
1号结点被收录进S
2号结点被收录进了S
4号结点被收录进了S

3号结点被收录进了S
由上图图方法可得最短路径。

PTA题目：

这篇文章是我在pat上做题时遇到了一个dijkstra算法的题目，想到自己大一虽然学了这个算法，也敲了好几遍代码了，但是总的思想还是不清晰，在pta上遇到时花了很多时间才AC，所以写了一篇博客整理了一下dijkstra算法的思路。其实这个算法不难，主要是理解数归法，或者说贪心+动态规划算法的思路，其实本质都差不多。
另外我写了一个注释较全的一个关于dijkstra算法的题解，对上面理解不清晰的话可以结合题目看。

PTA题目：紧急救援