机器学习笔记之指数族分布——最大熵角度观察指数族分布(二)最大熵定理与指数族分布的关系

引言

上一节介绍了熵的基本概念以及最大熵思想，本节将介绍最大熵原理与指数族分布的关联关系。

回顾：最大熵思想示例

最大熵思想本质上是探究概率分布的一种工具，基于一个概率模型$P(x\mid \theta )$，如果其概率分布未知(没有任何约束概率分布的条件)、仅通过最大熵思想探究概率分布，发现满足熵最大的概率分布是均匀分布；
虽然没有任何约束条件，但是‘概率分布自身定义’还是要遵守的。
$$\sum _{i=1}^{k}p(x^{(j)}=x_i)=1(x^{(j)}\in \mathcal{X})$$
但实际情况可能是：概率分布依然是未知，但存在关于概率分布的约束条件。这意味着，不能使用最大熵思想对概率分布进行任意的摆布了。此时需要引入一个新的概念：最大熵原理。

最大熵原理

最大熵原理主要针对有约束条件概率分布进行求解。具体表述：在概率分布存在约束条件的情况下，满足约束条件下熵最大的分布就是求解的概率分布。

约束条件与经验概率分布

观察上面表述，什么叫做 概率分布存在约束条件？换句话说，这个约束条件是从哪里体现出来的？

我们在极大似然估计与最大后验概率估计中介绍过：$P(\mathcal{X}\mid \theta )$既可以看作概率分布，也可以看作概率模型$P$以模型参数$\theta$生成了大量样本,从而产生数据集合$\mathcal{X}$。
模糊‘概率分布’与‘概率模型’之间的界限;
因此，概率分布的约束条件，或者说概率分布约束条件的表现形式自然是 一个个具体的样本。假设一个数据集合$\mathcal{X}$包含$N$个样本：
$$\mathcal{X}=\{x^{(1)},x^{(2)},\cdots ,x^{(N)}\}$$

仅仅是有样本是不够的，如何将这些样本转换为约束概率分布的条件？引入一个概念：经验概率分布(Empirical probability distribution)。

经验概率分布是指特定事件发生的次数占总体实验样本的比率。经验概率分布的概率密度函数表示如下：
$$\hat{p}(x^{(j)}=x_i)=\frac{count(x_i)}{N}(i=1,2,\cdots ,k;x^{(j)}\in \mathcal{X})$$

其中$x_i$表示样本的第$i$个值，$count(x_i)$表示统计样本第$i$个值出现的次数。
示例：数据集合${\mathcal{X}}_0$共包含6个样本：
$${\mathcal{X}}_0=\{4,5,5,6,6,6\}$$
上述集合共包含3种值：
$$x_1=4,x_2=5,x_3=6$$
则有如下的经验概率分布：
$$\hat{P}({\mathcal{X}}_0)=\left(\begin{array}{c}\hat{p}(x^{(j)}=x_1)\\ \hat{p}(x^{(j)}=x_2)\\ \hat{p}(x^{(j)}=x_3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{6}\\ \frac{1}{3}\\ \frac{1}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0.16\\ 0.33\\ 0.5\end{array}\right)(x^{(j)}\in {\mathcal{X}}_0)$$

这种概率分布最显著的特点是 该分布是单纯通过实际实验归纳得到，不掺杂理论取样。即计算概率分布使用的样本，均为真实样本。
在真实环境中，绝大多数情况都是通过有限样本进行归纳(经验分布)去逼近理想状态下的真实分布，弊端是‘经验分布’和‘真实分布’之间总是存在差距;优势在于简化运算，概率分布结果只和有限样本相关。

引入经验概率分布的背后意义在于概率分布完全取决于数据集合$\mathcal{X}$。

经验概率分布本质上依然是概率分布，通过该概率分布可以求解期望、方差等 数字特征。定义$\hat{p}(x^{(j)}=x_i)$为某样本$x^{(j)}$等于某具体数值$x_i$的概率密度函数：
$x^{(j)}$表示为数据集合$\mathcal{X}$内的任意一个样本;

$$\begin{array}{rl}{\mathbb{E}}_{\hat{P}(\mathcal{X})}[\mathcal{X}]& =\sum _{x^{(j)}\in \mathcal{X}}\hat{p}(x^{(j)}=x_i)\cdot x^{(j)}(i=1,2,\cdots ,k)\\ Va{r}_{\hat{P}(\mathcal{X})}[\mathcal{X}]& ={\mathbb{E}}_{\hat{P}(\mathcal{X})}[{\mathcal{X}}^2]-{\left[{\mathbb{E}}_{\hat{P}(\mathcal{X})}[\mathcal{X}]\right]}^2\end{array}$$

为了让数字特征更具备泛化性：

• 假设$f(x^{(j)})$是关于样本$x^{(j)}$的任意函数，上述数字特征改写为：
  $$\begin{array}{rl}{\mathbb{E}}_{\hat{p}(\mathcal{X})}[f(\mathcal{X})]& =\sum _{x^{(j)}\in \mathcal{X}}\hat{p}(x^{(j)}=x_i)\cdot f(x^{(j)})\\ & =\sum _{j=1}^N\hat{p}(x^{(j)}=x_i)\cdot f(x^{(j)})\end{array}$$
• 对$f(x^{(j)})$进行深层设定：将$f(x^{(j)})$定义为关于$x^{(j)}$的一个$\mathcal{Q}$维函数向量。因此，$f(x^{(j)})$存在如下表达形式：
  需要注意的点：它是函数向量维度，而不是样本维度;
  $$f(x^{(j)})=\left(\begin{array}{c}{f}_1(x^{(j)})\\ f_2(x^{(j)})\\ ⋮\\ f_{\mathcal{Q}}(x^{(j)})\end{array}\right)$$

由于$f(x)$函数是自定义的，是已知的；概率分布$\hat{P}(\mathcal{X})$是通过样本计算得到，是已知的；因此，${\mathbb{E}}_{\hat{P}(\mathcal{X})}[f(\mathcal{X})]$结果也是已知信息。假设该已知信息的结果为$\Omega$，则有：
$${\mathbb{E}}_{\hat{P}(\mathcal{X})}[f(\mathcal{X})]=\Omega$$

• 由于$f(x^{(j)})$被定义为$\mathcal{Q}$维向量。因此，${\mathbb{E}}_{\hat{P}(\mathcal{X})}[f(\mathcal{X})]$可以进行如下表示：
  $${\mathbb{E}}_{\hat{P}(\mathcal{X})}[f(\mathcal{X})]=\left(\begin{array}{c}{\mathbb{E}}_{\hat{P}(\mathcal{X})}[f_1(\mathcal{X})]\\ {\mathbb{E}}_{\hat{P}(\mathcal{X})}[f_2(\mathcal{X})]\\ ⋮\\ {\mathbb{E}}_{\hat{P}(\mathcal{X})}[f_{\mathcal{Q}}(\mathcal{X})]\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\sum }_{j=1}^N\hat{p}(x^{(j)}=x_i)\cdot f_1(x^{(j)})\\ {\sum }_{j=1}^N\hat{p}(x^{(j)}=x_i)\cdot f_2(x^{(j)})\\ ⋮\\ {\sum }_{j=1}^N\hat{p}(x^{(j)}=x_i)\cdot f_{\mathcal{Q}}(x^{(j)})\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\Omega }_1\\ {\Omega }_2\\ ⋮\\ {\Omega }_{\mathcal{Q}}\end{array}\right)$$

至此，我们根据约束条件——数据集合$\mathcal{X}$借助经验概率分布$\hat{P}(\mathcal{X})$得到一个 带等号的约束条件。

最大熵原理推导过程

和最大熵思想推导相似，该问题本质上也是一个优化问题：

假设$P(\mathcal{X})$是使用最大熵原理最终求解的概率分布；$p(x^{(j)})$表示$P(\mathcal{X})$分布下某样本$x^{(j)}$的 概率密度函数。因此，$P(\mathcal{X})$的熵表示如下：
$$\mathcal{H}[P(\mathcal{X})]=-\sum _{x^{(j)}\in \mathcal{X}}p(x^{(j)})\log p(x^{(j)})$$
目标函数表示如下：
$$\max -\sum _{x^{(j)}\in \mathcal{X}}p(x^{(j)})\log p(x^{(j)})=\min \sum _{x^{(j)}\in \mathcal{X}}p(x^{(j)})\log p(x^{(j)})$$
约束条件表示如下：
在满足数据集合提供的约束条件时，也要满足概率自身的约束条件。
使用最大熵定理求解的概率分布$P(\mathcal{X})$是基于样本集合$\mathcal{X}$得到的，因此约束条件中需要将${\mathbb{E}}_{P(\mathcal{X})}[f(\mathcal{X})]={\mathbb{E}}_{\hat{P}(\mathcal{X})}[f(\mathcal{X})]$

$$s.t.\{\begin{array}{l}{\sum }_{i=1}^{k}p(x^{(j)}=x_i)=1(x^{(j)}\in \mathcal{X})\\ {\mathbb{E}}_{P(\mathcal{X})}[f(\mathcal{X})]={\mathbb{E}}_{\hat{P}(\mathcal{X})}[f(\mathcal{X})]=\Omega \end{array}$$

终上，我们得到 一个目标函数与两个带等号的约束条件。

• 使用拉格朗日乘数法构造拉格朗日函数：
  由于${\mathbb{E}}_{\hat{P}(\mathcal{X})}[f(\mathcal{X})]$是一个$\mathcal{Q}$维向量，因此$\lambda$也是一个$\mathcal{Q}$维向量。最终目的是‘线性相加’$\to {\lambda }^T\Omega$
  $$\begin{array}{rl}\mathcal{L}(p(x^{(j)}),{\lambda }_0,\lambda )& =\sum _{x^{(j)}\in \mathcal{X}}p(x^{(j)})\log p(x^{(j)})+{\lambda }_0\left(1-\sum _{i=1}^{k}p(x^{(j)}=x_i)\right)+{\lambda }^T(\Omega -{\mathbb{E}}_{P(\mathcal{X})}[f(\mathcal{X})])\\ & =\sum _{x^{(j)}\in \mathcal{X}}p(x^{(j)})\log p(x^{(j)})+{\lambda }_0\left(1-\sum _{i=1}^{k}p(x^{(j)}=x_i)\right)+{\lambda }^T(\Omega -\sum _{x^{(j)}\in \mathcal{X}}p(x^{(j)}=x_i)f(x^{(j)}))\end{array}$$

• $\mathcal{L}(p(x^{(j)}),{\lambda }_0,\lambda )$对$p(x^{(j)})$求偏导：
  需要注意的点：
1.$p(x^{(j)})$与$p(x^{(j)}=x_i)$表示的是同一个东西，它们都表示‘任意样本’$x^{(j)}$选择第$i$个值$x_i$的概率密度函数；
2. 本文与视频推导出现矛盾的位置，拉格朗日函数的第一个连加符号${\sum }_{x^{(j)}\in \mathcal{X}}$它的连加次数是$N$(样本数量)次，而第二个连加符号${\sum }_{i=1}^k$它的连加次数是$k$(样本选择数值的数量)次，两个连加符号不能合并，但是‘视频’中合并了。但是该问题不影响最终结果，只是最后表现形式有少许偏差。
  $$\begin{array}{rl}\frac{\partial \mathcal{L}(p(x^{(j)}),{\lambda }_0,\lambda )}{\partial p(x^{(j)})}& =\sum _{x^{(j)}\in \mathcal{X}}\left[p(x^{(j)})\cdot \frac{1}{p(x^{(j)})}+\log p(x^{(j)})\right]+0-\sum _{i=1}^k{\lambda }_0+0-{\lambda }^T\sum _{x^{(j)}\in \mathcal{X}}f(x^{(j)})\\ & =\sum _{x^{(j)}\in \mathcal{X}}\left[1+\log p(x^{(j)})\right]-\sum _{i=1}^k{\lambda }_0-{\lambda }^T\sum _{x^{(j)}\in \mathcal{X}}f(x^{(j)})\\ & =\sum _{x^{(j)}\in \mathcal{X}}\left[1+\log p(x^{(j)})-f(x^{(j)})\right]-k\cdot {\lambda }_0\end{array}$$

由于$k\cdot {\lambda }_0$是常数，可以将其进行变换：
$$\begin{array}{rl}k\cdot {\lambda }_0& =N\cdot \frac{k}{N}\cdot {\lambda }_0\\ & =\sum _{x^{(j)}\in \mathcal{X}}\frac{k}{N}\cdot {\lambda }_0\end{array}$$
因此，将变换后的结果与原式合并：
$$\sum _{x^{(j)}\in \mathcal{X}}\left[1+\log p(x^{(j)})-f(x^{(j)})-\frac{k}{N}\cdot {\lambda }_0\right]$$

令$\frac{\partial \mathcal{L}(p(x^{(j)}),{\lambda }_0,\lambda )}{\partial p(x^{(j)})}\triangleq 0$：
有：
$$\begin{array}{r}1+\log p(x^{(j)})-f(x^{(j)})-\frac{k}{N}\cdot {\lambda }_0=0\\ \to p(x^{(j)})=e^{{\lambda }^{T}f(x^{(j)})-(\frac{k}{N}{\lambda }_0+1)}(x^{(j)}\in \mathcal{X})\end{array}$$

最终通式结果表示如下：
$$p(x)=e^{{\lambda }^{T}f(x)-(\frac{k}{N}{\lambda }_0+1)}$$

根据指数族分布介绍中的指数族分布定义式，发现：

• $h(x)=1$；
• ${\eta }^T={\lambda }^T$；
• $\varphi (x)=f(x)$；
• $A(\eta )=\frac{k}{N}{\lambda }_0+1$；

至此，我们发现，在概率分布存在约束条件的情况下，满足约束条件下熵最大的分布就是指数族分布。

下一节将暂停一节指数族分布的介绍，将最大熵原理延伸至$sigmoid,softmax$函数。

相关参考：
机器学习-白板推导系列(八)-指数族分布（Exponential Family Distribution）