机器学习笔记之线性分类——逻辑回归

引言

前面几节介绍了线性分类中硬分类方法，如 感知机算法、线性判别分析。并介绍了对应算法中的 策略构建思路以及最优模型参数求解过程。本节将介绍软分类中的经典算法——逻辑回归。

回顾：软分类

在线性回归基本性质介绍与线性分类中介绍过，硬分类与软分类最显著的区别是激活函数是否为连续性函数：

• 硬分类的代表：感知机(Perceptron)，它的模型表示如下：
  $$f(\mathcal{W},b)=sign({\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}+b)(i=1,2,\cdots ,N)$$
  其中$sign$函数又称符号函数，它的定义表示如下：
  $$sign(a)=\{\begin{array}{l}1a\ge 0\\ -1a<0\end{array}$$
  从图像观察，它明显是一个分段函数，无法求导；
• 软分类的激活函数是连续的，具有代表性的是$sigmoid$激活函数：
  $$sigmoid(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$$
  $sigmoid$函数图像表示如下：
  
  观察该图像：
• 首先，该函数在定义域中连续可导；
• 该函数值域有界——值域取值范围$(0,1)$；

针对$sigmoid$函数取值范围的特性，我们可以将该数值结果赋予实际意义：在二分类任务中，视为针对真实标签预测的概率结果$p$。即：
$$\{\begin{array}{l}P(y_{pred}^{(i)}=1)=p\\ P(y_{pred}^{(i)}=-1)=1-p\end{array}$$
从其他角度观察，$sigmoid$函数本身就是 指数族分布的一种表达形式，在最大熵原理与softmax激活函数的关系中介绍过，数据集$Data=\{(x^{(i)},y^{(i)}){\}}_{i=1,2,\cdots ,N}$服从经验概率分布的条件下，给定样本$x^{(k)}$，$y^{(k)}$的概率密度函数$p(y^{(k)}\mid x^{(k)})$为如下表达时，熵达到最大：
$$p(y^{(k)}\mid x^{(k)})=\frac{e^{{\Lambda }^T}f(x^{(k)},y^{(k)})}{{\sum }_{y^k={\mathcal{S}}_{\mathcal{Y}}^{(l)}}{e}^{{\Lambda }^{T}f(x^{(k)},y^{(k)})}}$$
其中${\mathcal{S}}_{\mathcal{Y}}^{(l)}$表示通过经验概率分布统计得到的某个具体的标签分布；$f(x)$是关于数据集合的任意函数。经过化简，我们可以得到$Softmax$函数的表达形式：
$$Softmax(z_i)=\frac{e^{z_i}}{{\sum }_{j=1}^m{e}^{z_j}}$$
其中$m$可以理解为标签分布$s_{\mathcal{Y}}^{(l)}$的数量。而$sigmoid$函数可视为$Softmax$函数在二分类任务中的表达：
$$\begin{array}{rl}sigmoid(x)& =\frac{1}{1+e^{-x}}\\ & =\frac{e^x}{e^x+1}\\ & =\frac{e^x}{e^x+e^0}\end{array}$$
相比于$Softmax$函数分母中包含的$m$个元素，$sigmoid$函数分母中只包含两项元素：$e^x,e^0$，并且$e^0$只是一个常数。可以将其理解成只有一种分类下的$Softmax$函数。
虽然说只是一种分类，但仍然包含两个概率结果：一个结果可以表示为‘属于该分类的概率’；另一个结果可以表示为‘不属于该分类的概率’。

逻辑回归策略思路构建

逻辑回归(logistic Regression)是一种基于软分类思想的概率判别模型，其核心思想是 直接判别后验概率$P({\mathcal{Y}}_{pred}=-1\mid \mathcal{X})$与$P({\mathcal{Y}}_{pred}=1\mid \mathcal{X})$之间的大小关系。
因此，策略构建的核心是直接围绕后验概率$p(\mathcal{Y}\mid \mathcal{X})$进行建模。

场景描述

数据集合$Data=\{(x^{(i)},y^{(i)}){\}}_{i=1,2,\cdots ,N}$，任意样本$x^{(i)}$是$p$维向量：
$$x^{(i)}=(x_1^{(i)},x_2^{(i)},\cdots ,x_p^{(i)}{)}^T$$
由于$sigmoid$函数的值域性质，因此样本的二分类标签分布表示如下：
$$y^{(i)}\in \{0,1\}$$

推导过程

由于$sigmoid$函数的值域在$(0,1)$内连续，其朴素思想是将线性计算结果${\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}$经过$sigmoid$函数映射得到一个关于预测标签分布的后验概率结果$P(y^{(i)}\mid x^{(i)})$。因此，将基于不同分类的后验概率结果表示如下：
$$\{\begin{array}{l}{p}_1=P(y^{(i)}=1\mid x^{(i)})=sigmoid({\mathcal{W}}^T{x}^{(i)})=\frac{1}{1+e^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}}\\ p_2=P(y^{(i)}=0\mid x^{(i)})=1-sigmoid({\mathcal{W}}^T{x}^{(i)})=\frac{e^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}}{1+e^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}}\end{array}$$

将上述两个概率合并，对后验概率结果$P(y^{(i)}\mid x^{(i)})$进行表达：
该表达只是‘合并上述两个后验概率的’一个方式。
$$P(y^{(i)}\mid x^{(i)})=p_1^{y^{(i)}}{p}_2^{(1-y^{(i)})}$$

• 当$y^{(i)}=1$时，$P(y^{(i)}\mid x^{(i)})=p_1\times {p_2}^0=p_1$;
• 当$y^{(i)}=0$时，$P(y^{(i)}\mid x^{(i)})={p_1}^0\times p_2=p_2$;

由于各样本之间独立同分布，因此基于数据集合的后验概率$P(\mathcal{Y}\mid \mathcal{X})$表达结果如下：
$$P(\mathcal{Y}\mid \mathcal{X})=\prod _{i=1}^{N}P(y^{(i)}\mid x^{(i)})$$

至此，使用极大似然估计方法对模型最优参数进行求解：
为简化运算，依然对‘log似然函数求解最大值’。
$$\begin{array}{rl}\hat{\mathcal{W}}& =\underset{\mathcal{W}}{\mathrm{argmax}}\log P(\mathcal{Y}\mid \mathcal{X})\\ & =\underset{\mathcal{W}}{\mathrm{argmax}}\log \prod _{i=1}^{N}P(y^{(i)}\mid x^{(i)})\\ & =\underset{\mathcal{W}}{\mathrm{argmax}}\sum _{i=1}^N\log P(y^{(i)}\mid x^{(i)})\end{array}$$
将上述表达式带入：
$$\begin{array}{rl}\hat{\mathcal{W}}& =\underset{\mathcal{W}}{\mathrm{argmax}}\sum _{i=1}^N\log \left(p_1^{y^{(i)}}{p}_2^{(1-y^{(i)})}\right)\\ & =\underset{\mathcal{W}}{\mathrm{argmax}}\sum _{i=1}^N\log p_1^{y^{(i)}}+\log p_2^{(1-y^{(i)})}\\ & =\underset{\mathcal{W}}{\mathrm{argmax}}\sum _{i=1}^N\left[y^{(i)}\log p_1+(1-y^{(i)})\log p_2\right]\end{array}$$

令$p_1=\frac{1}{1+e^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}}=\varphi (x^{(i)};\mathcal{W})$，那么$p_2=1-\frac{1}{1+e^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}}=1-\varphi (x^{(i)};\mathcal{W})$。将量结果带入上式：
$$\hat{\mathcal{W}}=\underset{\mathcal{W}}{\mathrm{argmax}}\sum _{i=1}^N{y}^{(i)}\log \varphi (x^{(i)};\mathcal{W})+(1-y^{(i)})\log \left[1-\varphi (x^{(i)};\mathcal{W})\right]$$
提出一个负号，将上式转化为：
$$\hat{\mathcal{W}}=\underset{\mathcal{W}}{\mathrm{argmin}}\left\{-\sum _{i=1}^N{y}^{(i)}\log \varphi (x^{(i)};\mathcal{W})+(1-y^{(i)})\log \left[1-\varphi (x^{(i)};\mathcal{W})\right]\right\}$$
观察大括号中的项，它就是基于二分类交叉熵的表达形式。因此可以得到如下结论：逻辑回归使用极大似然估计直接对后验概率分布$P(\mathcal{Y}\mid \mathcal{X})$求解最优模型参数$\hat{\mathcal{W}}$ 等价于 交叉熵损失函数求解最优模型参数。

求解过程

基于上述结论继续对最优模型参数$\hat{\mathcal{W}}$进行求解：
将$\varphi (x^{(i)};\mathcal{W})$展开，带回上式：
$$\hat{\mathcal{W}}=\underset{\mathcal{W}}{\mathrm{argmin}}\left\{-\sum _{i=1}^N{y}^{(i)}\log \left[\frac{1}{1+e^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}}\right]+(1-y^{(i)})\log \left[\frac{e^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}}{1+e^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}}\right]\right\}$$
记$\hat{\mathcal{W}}=\underset{\mathcal{W}}{\mathrm{argmin}}\mathcal{J}(\mathcal{W})$，并关于$\mathcal{J}(\mathcal{W})$对$\mathcal{W}$进行求导：
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial \mathcal{J}(\mathcal{W})}{\partial \mathcal{W}}& =\sum _{i=1}^N\left\{y^{(i)}\log \left[1+e^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}\right]\times \left(-\frac{1}{{\left(1+e^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}\right)}^2}\right)\times \left(-x^{(i)}{e}^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}\right)+(1-y^{(i)})\frac{1+e^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}}{e^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}}\times \frac{1}{{\left(1+e^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}\right)}^2}\times \left(-x^{(i)}{e}^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}\right)\right\}\\ & =\sum _{i=1}^N\frac{y^{(i)}\log \left[1+e^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}\right]x^{(i)}{\left[e^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}\right]}^2+(y^{(i)}-1)x^{(i)}{e}^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}\left(1+e^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}\right)}{e^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}(1+e^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}{)}^2}\end{array}$$
令$\frac{\partial \mathcal{J}(\mathcal{W})}{\partial \mathcal{W}}\triangleq 0$，则 分子部分等于0。即：
$$\sum _{i=1}^N\left\{x^{(i)}{e}^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}\left(1+e^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}\right)\left[y^{(i)}{e}^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}+y^{(i)}-1\right]\right\}=0$$
由于$e^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}},\left(1+e^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}\right)$均大于0恒成立，因此有：
$$\sum _{i=1}^N\left\{x^{(i)}\left[y^{(i)}{e}^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}+y^{(i)}-1\right]\right\}=0$$
最终求得：
$${\hat{\mathcal{W}}}^T=\sum _{i=1}^N-\frac{1}{x^{(i)}}\log \left[\frac{1}{y^{(i)}}-1\right]$$
观察该式子，我们发现：它就是将样本$(x^{(i)},y^{(i)})$带入$sigmoid$激活函数后$\mathcal{W}$的求解结果：
$$\begin{gathered} y^{(i)}=\frac{1}{1+e^{-{\mathcal{W}}^T{x}^{(i)}}} \\ \to {\mathcal{W}}^T=-\frac{1}{x^{(i)}}\log \left[\frac{1}{y^{(i)}}-1\right] \end{gathered}$$

下一节将介绍：用于线性分类的概率生成模型——高斯判别分析(Gaussain Discriminant Analysis,GDA)。

相关参考：
王木头学科学：最大熵原理与Softmax激活函数
机器学习-白板推导系列(四)-线性分类-逻辑回归