欧拉公式和三大变换

1.起源——欧拉公式 ，i是什么，欧拉公式在复平面的意义。e^ix其实构成了完备的标准正交基。

i代表了旋转。
欧拉恒等式在数学中严谨可以用泰勒公式推导得出，由e^ix和sinx cosx的泰勒展开可得。
e^ix可以理解为一个单位圆。并且很容易看出： e^ix代表一组矢量，矢量的角度为 x，矢量的幅值为1 。在圆上的向量实轴投影可以表示为cosx，虚轴投影可以表示为sinx。e^ix就等于两个向量相即欧拉恒等式。
e^ix也可以看成垂直复平面上逆时针做圆周运动的点，螺旋线，在实部投影为cosx曲线，而投影到虚轴就为 sinx曲线。

2.自然常数“e”，工程中的自然数“1”，结合e高数的重要极限。e代表了连续。

3.信号的正交分解

内积是信号处理很重要概念，傅里叶变换, 滤波器, 甚至卷积神经网络都需要理解这个概念。
正交分解其实就是用正交基去表示一个信号，用信号f(t)去乘以各个正交基得到的结果就是这个信号在各个基的投影可称之为系数。再用系数*正交基联合表示信号。但是用多少个正交基是正确的呢？或者说用多少正交基表示出来的信号最像或者就是原信号？
这时候引入一个最小方均误差，方均误差为0时可以说用各个基表示了该信号，但是此时要求的正交基应该是完备正交基。通俗的说就是你再也找不到与之前正交集里面正交的基再加入进去了。
信号的正交分解在推导傅里叶变换具有重要作用

用内积可以证明e^iωt是一组完备的标准正交基此时就不难理解
其中：

傅里叶变换FT的本质可以看成是正交分解：f(t)和e^iωt求内积的时候，f(t)中只有频率为 e^iωt的分量才会有内积的结果，其余分量的内积为0，积分值是时间从负无穷到正无穷，求出一个关于W的函数F(W)。

而此称为傅里叶反变换 IFT

4.傅里叶变换和拉普拉斯变换和Z变换的联系

傅里叶变换

傅里叶变换的收敛有一个狄里赫利条件，要求信号绝对可积/可和。

拉普拉斯变换：

美中不足的是在现实情况下仍有相当多的不绝对可积的信号[例如信号e^atu(t)，a>0等等]的傅里叶变换并不存在。由此引出了拉普拉斯变换。
可以从定义式推出将f(t)乘上一个指数函数e^-σt可以理解成衰减因子从而此f(t)e^-σt就满足了绝对可积的条件。
拉普拉斯变换与连续时间傅里叶变换的关系是：
拉普拉斯变换将频率从实数推广为复数，因而傅里叶变换变成了拉普拉斯变换的一个特例。
当s为纯虚数时，x(t)的拉普拉斯变换，即为x(t)的傅里叶变换。
从图像的角度来说，拉普拉斯变换得到的频谱是一个复平面上的函数，傅里叶变换得到的频谱，则是从虚轴上切一刀(忽略实轴s为纯虚数)，得到的函数的剖面。

Z变换：

也可以从定义式中为了让不满足绝对可和条件的函数x[n]，也能变换到频率域，我们乘一个指数函数a^-n，a为（满足收敛域的）任意实数。
所以Z变换与离散时间傅里叶变换（DTFT）的关系是：Z变换将频率从实数推广为复数，因而DTFT变成了Z变换的一个特例。当z的模为1时，x[n]的Z变换即为x[n]的DTFT。从图像的角度来说，Z变换得到的频谱，是一个复平面上的函数，而DTFT得到的频谱，则是沿着单位圆切一刀，得到的函数的剖面，从负实轴切断展开的图像。
Z变换是对离散时间信号的傅里叶变换DTFT进行理论拓展，使其能适用于离散时间信号不绝对可加时的情况。DTFT→Z变换。

5.任何一个域连续，则在另一个域为非周期的；任何一个域离散，则在另一个域为周期的。

CTFT→DTFT→DFT→FFT

连续时间傅里叶变换CTFT → 离散时间傅里叶变换（DTFT）
我们目前处于一个数字化的世界，如果一个信号的频谱是连续的（DTFT），那么我们仍然没法在机器中处理，频率也要离散化才行，所需要的技术就是离散傅里叶变换DFT（Discrete Fourier Transform），即具有周期特性离散信号的傅里叶级数（就是将无限长的离散限号进行截短至N个采样点，然后将这个N个采样点进行周期延拓 ）。而FFT只是DFT的快速算法罢了。