性质1称为范数的正定性(恒正性)
性质2称为范数的齐次性,其中因为k∈F,F可能是复数域,所以k值要取模值
性质3称为范数的三角不等式
(2)赋范线性空间
把定义了范数的线性空间称为是赋范线性空间
【回顾】内积空间就是定义了内积的线性空间:若F∈R,则为欧几里得空间;若F∈C,则为酉空间。
因为内积空间的长度是最常见也是很重要的一种范数,所以这一章在表示“范数”时,我们都使用记号||·||
注意:在谈论范数时,||·||并不是唯一指代向量长度。
(2)Cn中范数举例(p范数与范数的变换)
假设有任意向量X = (x1,x2,…,xn)T∈Cn
有关p范数是否满足范数定义的三性质,以下通过1-范数来举例说明:
【注】1-范数的“正定性”、“齐次性”和“三角不等式”性质的满足本质上是模运算的相应性质的满足。
上图中用黑框标注的地方就是证明的关键位。
对于Cn空间上已知的范数定义,通过一个可逆矩阵A,即可相应得到另一种范数定义。
简要证明如下:
Tip:对于一个可逆矩阵A和一个非零向量x,Ax≠θ一定成立。可以用反证法论证。
(3)任意线性空间中的范数定义
换言之,就是对于任意给定的一个线性空间V(F∈C);
找到该空间V上的一组基,V上的任意向量α在该组基上的坐标相应为X;
则V上的任意向量α的范数||α||V就可以转换成其坐标X向量(X∈Cn)在Cn空间中的范数||X||C^n^。
p.s. 而前面我们讨论了很多Cn空间行得通的范数定义,根据需要选用即可。
此部分讲述定义“范数”概念的必要性。
定义范数是为了定义向量序列与向量的极限。
p.s. 矩阵序列的收敛是与选用的范数定义相关的。
一言以蔽之,如果两个范数是可比较的,那么在这两个范数下所描述的矩阵序列的收敛性是等价的。
看回矩阵序列收敛的定义处,如果选用两个不同的范数,那么是否会存在相同的矩阵序列收敛于不同的值的情况?
——基于此,我们提出了范数的可比较性。
(1)定义
(2)证明与理解
以下进行证明“两个范数是可比较的 ↔ 矩阵序列在两个范数下的极限值是相同的”
Tip:既然“可比较”的定义中给出了不等式关系,证明时主要利用极限的夹逼准则。
若||ηi-η0||→0,则||ηi-η0||'→0
根据可比较的定义:
||ηi-η0||'≤(1/k1)||ηi-η0||→0;
||ηi-η0||'≥(1/k2)||ηi-η0||→0;
根据夹逼准则,有||ηi-η0||'→0。
若||ηi-η0||'→0,则||ηi-η0||→0
思路同上:
||ηi-η0||≤k2||ηi-η0||'→0;
||ηi-η0||≥k1||ηi-η0||'→0;
根据夹逼准则,有||ηi-η0||→0
(3)定理
有限维线性空间V上任意两个范数均是可比较的。
之前我们讨论的都是一般的线性空间的范数定义,以下我们讨论一个较为特殊的线性空间——矩阵空间上的范数定义。
(1)矩阵p-范数
如果把矩阵进行行分块或者列分块,每一个分块元素都可以套用之前Cn空间中定义的范数,从而就可以引出矩阵范数的相关定义。
这其中对矩阵2-范数要格外引起注意:
矩阵2-范数(Frobenius范数)对于酉变换保持不变性。
【证明】利用矩阵2-范数的定义可以对以上结论很好地进行证明
||A||F = (trAHA)1/2;
||UAV||F = (tr(UAV)H(UAV))1/2 = (tr(VHAHUHUAV))1/2
因为U是酉矩阵,所以满足UHU = I
||UAV||F = (trVHAHAV)1/2
因为V也是酉矩阵,所以满足VH = V-1
则||UAV||F = (trV-1AHAV)1/2,因为V-1AHAV与AHA一定是相似的,其二者具有相同的特征值
p.s. 矩阵的迹(tr)等于矩阵主对角线元素之和,也等于矩阵的全部特征值之和。
故证毕。
(2)算子范数
如果以线性变换的角度来看待一个矩阵,那么Amxn∈Cmxn这个矩阵可以看做把一个属于Cm空间中的向量X,映射成属于Cn空间中的向量AX。
基于这个线性映射的计算过程,我们同样也想要定义相对应的范数。
虽然此处不会深究讨论,但读者需要培养一个思维,当我们定义了上述的范数形式后,想要认可其确实可以作为一个范数,还需要思考以下问题:
- ||A||该范数是否有意义?
- ||A||该范数是否满足范数公理?
当原空间和变换空间分别取||·||mi(矩阵某范数),那么由此诱导出来的算子范数就是||·||i(相应的算子某范数)。
p.s. 这里一定要注意下标的表示方式,不要弄混了。
对于矩阵来说,其不仅有数乘、加法运算,还具有乘法运算。
数乘和加法运算针对于范数来说,根据范数定义中的齐性和三角不等式得到了规范;
但是乘法运算相应于范数还未有规范,至此我们提出“相容性”的概念。
(1)相容性的定义
(2)定理1——矩阵1范数,2范数相容,无穷大范数不相容
如上图考虑一个2阶全1方阵,其自身的无穷大范数为1;其2阶幂乘的结果是2阶的全2方阵,相应的无穷大范数为2;
显然不等式2≤1x1是不满足的。
故,不相容。
关于矩阵1范数与2范数的相容性,视频中未给出证明,读者可以自行尝试。
证明的思路可以借鉴下方链接中的证明题,利用范数的定义、性质进行不等式的放缩即可。
https://www.bilibili.com/read/cv4152269
(3)定理2——算子范数一定是相容的
也就意味着如果对于三个线性空间Cs,Cm和Cn,分别定义了其空间中的三个范数||·||Vs,||·||Vm和||·||Vn;
那么这三个范数又分别可以诱导出三个算子范数为||·||sxm,||·||sxn和||·||mxn。
“算子范数一定是相容的”,也就是说||·||sxm,||·||sxn和||·||mxn这三个范数是一定满足相容性的定义的。
(4)定理3——算子范数的求解
以上三种算子范数中,谱范数是最重要的。
到此,有两个我们需要重点关注的矩阵范数,其一是矩阵2范数(Frobenuis范数),其二就是算子2范数(谱范数)。
按照范数的定义相应代入计算即可。
拓展询问一下,若要求A(是一个酉矩阵)的矩阵2范数,那么根据定义——
||A||m2 = (tr(AHA))1/2 = (tr(I))1/2 = (n)1/2
【例】矩阵范数的求解 - 2
[0]:解读题意,0号框所示就是我们的证明目标;
[1]:A是一个正规阵,那么A一定可以通过酉变换成为一个对角阵,将A用对角阵和酉矩阵相应表示出来;
[2]:按照算子2范数的定义,需要计算AHA及其谱半径,可知道其相似于ΛHΛ;
[3]:根据对角阵的运算,得到等式,两边同时开方即满足题意要求。
记忆技巧:
矩阵2范数↔迹;算子2范数↔谱半径↔取最值
在分块对角中迹是相加的关系;
在分块对角中谱半径是再取最值的关系。