矩阵论(二)——Jordan标准形

1. 线性变换的对角矩阵表示

1.1 特征值与特征向量

1.  $\exists ϵ\in V_n(F)且\lambda \in F，ϵ\ne 0，使T(ϵ)=\lambda ϵ$，则$\lambda$是T的特征值，向量$ϵ$是线性变换T对应于$\lambda$的特征向量
证明：
$$ϵ=({\alpha }_1{\alpha }_2\cdots {\alpha }_n)X$$

$$T(ϵ)=({\alpha }_1{\alpha }_2\cdots {\alpha }_n)AX$$

因此 $T(ϵ)=\lambda ϵ⟺AX=\lambda X$

2.  线性变换T在基$\{{\alpha }_1{\alpha }_2\cdots {\alpha }_n\}$下矩阵为A，则A的特征值是T的特征值；若X是A的特征向量，则$ϵ=({\alpha }_1{\alpha }_2\cdots {\alpha }_n)X$是T的特征向量
T的特征值由T决定，和基与变换矩阵的选择无关
不同特征值对应的特征向量必线性无关

1.2 特征子空间

概念

$\lambda$是线性变换T的特征值，${ϵ}_1,{ϵ}_2,\cdots ,{ϵ}_t$是T对应于$\lambda$的特征向量的极大线性无关组，则称子空间$V_{\lambda }=L\{{ϵ}_1,{ϵ}_2,\cdots ,{ϵ}_t\}$为T关于$\lambda$的特征子空间
$\forall \alpha \in V_{\lambda },\alpha \ne 0,\alpha$就是T关于$\lambda$的特征向量，$V_{\lambda }=N(T-\lambda I)$
若T有s个互异的特征值，则它们就对应s个特征子空间
奇异矩阵： 该矩阵的秩不是满秩

性质

${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_s是V_n(F)$上线性变换T的s个互异的特征值，$V_{{\lambda }_i}$是${\lambda }_i$的特征子空间，则
$V_{{\lambda }_i}$是T的不变子空间
${\lambda }_i\ne {\lambda }_j时，V_{{\lambda }_i}\cap V_{{\lambda }_j}=\{0\}$
$若{\lambda }_i$是T的k重特征值，则$dim{V}_{{\lambda }_i}\le k$

$V_{{\lambda }_1}+V_{{\lambda }_2}+\cdots +V_{{\lambda }_s}=V_{{\lambda }_1}⨁V_{{\lambda }_2}⨁\cdots ⨁V_{{\lambda }_s}\subset V_n(F)$

${\sum }_{i=1}^{s}dim{V}_{{\lambda }_i}\le dim{V}_n(F)=n$

${\sum }_{i=1}^{s}dim{V}_{{\lambda }_i}=n\Rightarrow V_{{\lambda }_1}⨁V_{{\lambda }_2}⨁\cdots ⨁V_{{\lambda }_s}=V_n(F)$

例题

例题一

例题二

1.3 线性变换矩阵的对角化

概念

线性变换T有对角矩阵 $⟺$ T有n个线性无关的特征向量 $⟺$ $V_{{\lambda }_1}⨁V_{{\lambda }_2}⨁\cdots ⨁V_{{\lambda }_s}=V_n(F)$ $⟺$ $m(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1)(\lambda -{\lambda }_2)\cdots (\lambda -{\lambda }_s)$
$V_{{\lambda }_1}⨁V_{{\lambda }_2}⨁\cdots ⨁V_{{\lambda }_s}=V_n(F)$ $⟺$ ${\lambda }_i是T的k_i重特征值，必有dim{V}_{{\lambda }_i}=k_i,i=1,2,\cdots ,n$
若${\lambda }_i$为T的单特征值，则必有$dim{V}_{{\lambda }_i}=1$
线性变换T有n个互异的特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ $\Rightarrow$ $V_{{\lambda }_1}⨁V_{{\lambda }_2}⨁\cdots ⨁V_{{\lambda }_s}=V_n(F)$
$V_n(F)$上线性变换有对角矩阵表示 $⟺$ $V_n(F)$可分解为T的一维不变子空间的直和

例题

例题一

例题二

2 Jordan矩阵介绍

2.1 Jordan矩阵

$$J(\lambda )=\left[\begin{array}{cccc}\lambda & 1& & \\ & \lambda & 1& \\ & & \ddots & 1\\ & & & \lambda \end{array}\right]$$

的r阶方阵称为一个r阶Jordan块。由若干个Jordan块$J_i({\lambda }_i)$构成的准对角矩阵
$$J=\left[\begin{array}{cccc}{J}_1({\lambda }_1)& & & \\ & J_2({\lambda }_2)& & \\ & & \ddots & \\ & & & J_m({\lambda }_m)\end{array}\right]$$
称为Jordan矩阵
Jordan块都是一阶的Jordan矩阵就是对角矩阵

在复数域C上，每个n阶方阵A都相似于一个Jordan矩阵，即存在可逆矩阵P，使
$$P^{-1}AP=J_A=\left[\begin{array}{cccc}{J}_1({\lambda }_1)& & & \\ & J_2({\lambda }_2)& & \\ & & \ddots & \\ & & & J_s({\lambda }_s)\end{array}\right]$$

其中
$$J_i({\lambda }_i)=\left[\begin{array}{cccc}{J}_{i_1}({\lambda }_i)& & & \\ & J_{i_2}({\lambda }_i)& & \\ & & \ddots & \\ & & & J_{i_{t_i}}({\lambda }_i)\end{array}\right]\in C^{k_i\ast k_i}$$

$J_{ij}({\lambda }_i)为n_j$阶Jordan块，${\sum }_{j=1}^{t_i}{n}_j=k_i$. $J_i({\lambda }_i)是k_i\ast k_i$阶Jordan矩阵，${\sum }_{i=1}^s{k}_i=n$
若不计较Jordan的排列次序，则每个方阵的Jordan标准形$J_A$唯一

2.2 Jordan标准形

计算步骤

1. 求A的特征多项式
   $$|\lambda I-A|=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{k_1}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{k_2}\cdots (\lambda -{\lambda }_s{)}^{k_s}$$ 代数重数$k_i$决定Jordan矩阵$J_i({\lambda }_i)$的阶数为$k_i$
2. 对${\lambda }_i$，由$(A-{\lambda }_{i}I)X=0$，求A的线性无关的特征向量${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_{t_i}$。${\lambda }_i$的几何重数$dim{V}_{{\lambda }_i}=t_i$决定$J_i({\lambda }_i)$中有$t_i$个Jordan块
3. 若${\lambda }_i$的代数重数($k_i$)等于几何重数($dim{V}_{{\lambda }_i}$)： $k_i=dim{V}_{{\lambda }_i}$，${\lambda }_i$对应的Jordan矩阵为$k_i$阶对角矩阵；若$dim{V}_{{\lambda }_i}=t_i<k_i$，则在$V_{{\lambda }_i}$中选择适当的特征向量${\alpha }_i$，求Jordan链${\alpha }_i,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_{n_i}$，确定$J_i({\lambda }_i)$中Jordan块$J_{ij}({\lambda }_i)$的阶数$n_i$，从而得到$J_A$的结构
4. 所有Jordan链构成矩阵P，必有$P^{-1}AP=J_A$

推导过程

设A的特征多项式为$$|\lambda I-A|=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{k_1}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{k_2}\cdots (\lambda -{\lambda }_s{)}^{k_s}$$其中${\lambda }_i是A的k_i重特征值，{\sum }_{i=1}^s{k}_i=n,{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_s互异$
$\Rightarrow$
$$J_A=\left[\begin{array}{cccc}{J}_1({\lambda }_1)& & & \\ & J_2({\lambda }_2)& & \\ & & \ddots & \\ & & & J_s({\lambda }_s)\end{array}\right](2.5)$$

$J_i({\lambda }_i)$是主对角线元素为${\lambda }_i$的$k_i$阶Jordan矩阵
令$P=(p_1,p_2,\cdots ,p_s),p_i\in C^{n\ast k_i},i=1,2,\cdots ,s,AP=P{J}_A$可表示为：
$$A(p_1{p}_2\cdots p_s)=(p_1{p}_2\cdots p_s)\left[\begin{array}{cccc}{J}_1({\lambda }_1)& & & \\ & J_2({\lambda }_2)& & \\ & & \ddots & \\ & & & J_s({\lambda }_s)\end{array}\right]$$

$\Rightarrow$
$$(A{p}_{1}A{p}_2\cdots A{p}_s)=(p_1{J}_1({\lambda }_1)p_2{J}_2({\lambda }_2)\cdots p_s{J}_s({\lambda }_s))$$

$\Rightarrow$
$$A{p}_i=p_i{J}_i({\lambda }_i),i=1,2,\cdots ,s(2.6)$$
取$A{p}_1=p_1{J}_1({\lambda }_1)$为代表来分析，设
$$J_1({\lambda }_1)=\left[\begin{array}{cccc}{J}_{11}({\lambda }_1)& & & \\ & J_{12}({\lambda }_1)& & \\ & & \ddots & \\ & & & J_{1t}({\lambda }_1）\end{array}\right]$$

其中$J_{1i}为n_i$阶Jordan块，${\sum }_{i=1}^t{n}_i=k_1$
$\Rightarrow$
$$J_{1i}({\lambda }_1)={\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_1& 1& & & \\ & {\lambda }_1& 1& & \\ & & & \ddots & \\ & & & \ddots & 1\\ & & & & {\lambda }_1\end{array}\right]}_{n_i\ast n_i}(2.7)$$
把$p_1$按$n_1列,n_2列,\cdots ,n_t列分块,p_1=(p_1^{(1)}{p}_2^{(1)}\cdots p_t^{(1)})$
由等式2.6有$$A{p}_j^{(1)}=p_1^{(1)}{J}_{1j}({\lambda }_1),j=1,2,\cdots ,t(2.8)$$

设$p_j^{(1)}=({\alpha }_1{\beta }_2\cdots {\beta }_{n_j})$，结合等式2.7，等式2.8可化为
$$A({\alpha }_1{\beta }_2\cdots {\beta }_{n_j})=({\alpha }_1{\beta }_2\cdots {\beta }_{n_j})\left[\begin{array}{cccccc}{\lambda }_1& 1& & & & \\ & {\lambda }_1& 1& & & \\ & & & \ddots & & \\ & & & \ddots & 1& \\ & & & & {\lambda }_1& \end{array}\right]$$
该矩阵等式等价于
$$\{\begin{array}{l}(A-{\lambda }_{1}I){\alpha }_1=0\\ (A-{\lambda }_{1}I){\beta }_2={\alpha }_1\\ (A-{\lambda }_{1}I){\beta }_3={\beta }_2\\ ⋮\\ (A-{\lambda }_{1}I){\beta }_{n_j}={\beta }_{n_{j-1}}\end{array}(2.9)$$

从等式2.9中求得一组向量$\{{\alpha }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_{n_j}\}$，称为Jordan链。链中第一个向量${\alpha }_1$是A关于${\lambda }_1$的特征向量，${\beta }_2,\cdots ,{\beta }_{n_j}$称为广义特征向量。它的长度$n_j$就是$J_{1j}({\lambda }_1)$的阶数
等式2.8 $\Rightarrow num(J_{1j}({\lambda }_1))=num(Jordan链)=num(\alpha )$，num表示总数量。用文字可以表述为：
由等式2.8可知，$J_1({\lambda }_1)$有多少个Jordan块$J_{1j}({\lambda }_1)$，就有多少条Jordan链，也就会有多少个线性无关的特征向量

例题

例题一

例题二

例题三

3. 最小多项式

3.1 矩阵多项式

$A\in F^{n\times n},a_i\in F,g(\lambda )=a_m{\lambda }^m+a_{m-1}{\lambda }^{m-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0$是一个多项式，则称矩阵$g(A)=a_m{A}^m+a_{m-1}{A}^{m-1}+\cdots +a_{1}A+a_{0}I$为A的矩阵多项式。

$A\in F^{n\times n}$，g(A)是A的矩阵多项式，则：

1. ${\lambda }_0$是A的特征值 $\Rightarrow$ $g({\lambda }_0)$是g(A)的特征值
2. $P^{-1}AP=B\Rightarrow P^{-1}g(A)P=g(B)$
3. A为准对角矩阵 $\Rightarrow$ g(A)也是准对角矩阵且
   $$A=\left[\begin{array}{cccc}{A}_1& & & \\ & A_2& & \\ & & \cdots & \\ & & & A_k\end{array}\right]，A_i为方子块\Rightarrow g(A)=\left[\begin{array}{cccc}g(A_1)& & & \\ & g(A_2)& & \\ & & \cdots & \\ & & & g(A_k)\end{array}\right]$$

方阵g(A)计算
已知方阵A和多项式$g(\lambda )=a_m{\lambda }^m+a_{m-1}{\lambda }^{m-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0$
当$m\ge r$时，
$$g(J(\lambda ))=\sum _{i=0}^{r-1}\frac{g^{(i)}(\lambda )}{i!}{U}^i=\left[\begin{array}{cccc}g(\lambda )& g^{\prime }(\lambda )& \cdots & \frac{g^{(r-1)(\lambda )}}{(r-1)!}\\ & g(\lambda )& \ddots & ⋮\\ & & \ddots & g^{\prime }(\lambda )\\ & & & g(\lambda )\end{array}\right]$$
当$m<r$时，
$$g(J(\lambda ))=\left[\begin{array}{ccccccc}g(\lambda )& g^{\prime }(\lambda )& \cdots & \frac{g^m(\lambda )}{m!}& 0& \cdots & 0\\ & g(\lambda )& & & \ddots & & 0\\ & & & \ddots & & & \frac{g^{(m)}(\lambda )}{m!}\\ & & & \ddots & & & ⋮\\ & & & & & & g^{\prime }(\lambda )\\ & & & & & & g(\lambda )\end{array}\right]$$

其中r表示$J(\lambda )$的阶数

3.2 方阵的化零多项式

化零多项式： n阶方阵A，$\exists 多项式g(\lambda )，使g(A)=0$
Cayley-Hamilton： $f(\lambda )=|\lambda I-A|={\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\cdots +a_1\lambda +a_0\Rightarrow f(A)=0$，即方阵A的特征多项式就是A的化零多项式

$f(\lambda )$为n次多项式，$f(A)=0$使得$A^n$可以表示为$A^k(k<n)$的幂次项的组合：
$$A^n=-(a_{n-1}{A}^{n-1}+a_{n-2}{A}^{n-2}+\cdots +a_{1}A+a_{0}I)$$

例题

例题一

例题二
$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& -1\end{array}\right]，f(\lambda )=|\lambda I-A|={\lambda }^2-1，g(\lambda )={\lambda }^6+2{\lambda }^5-4{\lambda }^3+{\lambda }^2-5$，求g(A)
解： $g(\lambda )=({\lambda }^2-1)({\lambda }^4+2{\lambda }^3+{\lambda }^2-2\lambda +2)+(-2\lambda -3)\Rightarrow g(A)=-2A-3$

3.3 最小多项式

概念

若$A\in C^{n\times n}$，则A有无数个化零多项式。事实上，$f(\lambda )=|\lambda I-A|，有f(A)=0$
且$\forall g(\lambda )=h(\lambda )f(\lambda )$，均有$g(A)=h(A)\cdot f(A)$

最小多项式： n阶方阵A的所有化零多项式中，次数最低且首系数为1的多项式称为A的最小多项式，记为$m(\lambda )$

性质

T的特征多项式$f(\lambda )$与最小多项式$m(\lambda )$有相同的根(重数不计)，即
$$f(\lambda )=|\lambda I-A|=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{r_1}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{r_2}\cdots (\lambda -{\lambda }_s{)}^{r_s}$$

$\Rightarrow$ $m(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{t_1}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{t_2}\cdots (\lambda -{\lambda }_s{)}^{t_s}，1\le t_i\le r_i，i=1,2,\cdots ,s$

设T的特征多项式为
$$f(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{r_1}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{r_2}\cdots (\lambda -{\lambda }_s{)}^{r_s}，$$

T的Jordan标准形中关于特征值${\lambda }_i$的Jordan块的最高阶数为$\overline{n_i}$，则T的最小多项式$$m(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{\overline{n_1}}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{\overline{n_2}}\cdots (\lambda -{\lambda }_s{)}^{\overline{n_s}}$$

线性变换T可对角化 $⟺$ T有n个线性无关的特征向量 $⟺$ $m(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1)(\lambda -{\lambda }_2)\cdots (\lambda -{\lambda }_s)$

设$A\in C^{n\times n}$，A的最小多项式$m(\lambda )$，特征多项式$f(\lambda )$，任一化零多项式$\psi (\lambda )$，则

1. $m(\lambda )|\psi (\lambda )，即\psi (\lambda )=h(\lambda )\cdot m(\lambda )$，$m(\lambda )$整除T的一切化零多项式
2. $m(\lambda )$的零点是A的特征值，反之，A的特征值是$m(\lambda )$的零点
3. $m(\lambda )$是唯一的

相似矩阵具有相同的最小多项式
$\wedge =\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_s\end{array}\right]$，若$\lambda 1,\cdots ,{\lambda }_s$互异，则$m(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1)\cdots (\lambda -{\lambda }_s)$

本博客中所有内容均来自《矩阵论》第二版 华科，加入了一些自己的理解和简化，如有侵权，请联系删除