看骰子的六个面需要多少次

看骰子的六个面需要多少次 – 潘登同学的概率论笔记

来源

前几天在刷视频的时候，发现了这样一道题

解答

简化为硬币问题

一般做法

• 假设两次就能看到硬币的正反面，那么出现的情况可能为"正反"or“反正”(另外两个为"正正"，“反反”），概率为$\frac{1}{2}$；
• 假设三次才能看到硬币的正反面，那么出现的情况可能为"正正反"or“反反正”(另外两个为"正正正"，“反反反”），概率为$\frac{1}{4}$(因为"正正"，"反反"出现的概率为$\frac{1}{2}$)；
• 以此类推…

n	2	3	$\cdots$	k
p	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\cdots$	$\frac{1}{2^{k-1}}$

$$\begin{array}{rl}En& =2\ast \frac{1}{2}+3\ast \frac{1}{4}+\cdots +k\ast \frac{1}{2^{k-1}}\\ 2En& =2+3\ast \frac{1}{2}+\cdots +k\ast \frac{1}{2^{k-2}}\\ 下减上En& =2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2^{k-2}}-k\ast \frac{1}{2^{k-1}}=3\end{array}$$

递推的方法

将$E_2$记为看到两名所用的平均次数，将$E_1$记为看到一面所用的平均次数
$$\begin{array}{rl}{E}_2& =\frac{1}{2}(1+E_1)+\frac{1}{2}(1+E_1)\end{array}$$
其中前一个$\frac{1}{2}(1+E_1)$表示第一次投到正面所需的平均次数(这个$E_1$表示投到反面所需的平均次数)，后一个$\frac{1}{2}(1+E_1)$表示第一次投到反面所需的平均次数(这个$E_1$表示投到正面所需的平均次数)；

而$E_1$如果表示投到反面所需的平均次数
$$E_1=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(1+E_1)$$
其中前一个$\frac{1}{2}$表示第一次就投到反面，后一个$\frac{1}{2}{E}_1$表示第一次投到正面；

可以从中解出
$$\begin{gathered} E_1=2 \\ {E}_2=3 \end{gathered}$$

回到骰子问题

如果对于骰子仍采用一般解法，那会非常复杂；故采取递推方式
$$\begin{array}{rl}{E}_6& =\frac{1}{6}(1+E_5)+\cdots +\frac{1}{6}(1+E_5)\\ & =(1+E_5)\\ E_5& =\frac{1}{6}(1+E_5)+\frac{5}{6}(1+E_4)\\ & =\frac{6}{5}+E_4\\ E_4& =\frac{2}{6}(1+E_4)+\frac{4}{6}(1+E_3)\\ & =\frac{6}{4}+E_3\\ E_3& =\frac{3}{6}(1+E_3)+\frac{3}{6}(1+E_2)\\ & =\frac{6}{3}+E_2\\ E_2& =\frac{4}{6}(1+E_2)+\frac{3}{6}(1+E_1)\\ & =\frac{6}{2}+E_1\\ E_1& =\frac{5}{6}(1+E_1)+\frac{1}{6}\end{array}$$

解得
$$\begin{gathered} E_1=6 \\ {E}_6=1+\frac{6}{5}+\frac{6}{4}+\frac{6}{3}+\frac{6}{2}+6 \end{gathered}$$