史上最简SLAM零基础解读(8.1) - 旋转矩阵、旋转向量、欧拉角推导与相互转换

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一、前言

为了大家方便查询，先结论，再给出推导过程(四元数的相关知识，公式转换与过程推导在下一篇博客)

1、旋转矩阵→旋转向量、欧拉角：

2、旋转向量→旋转矩阵、欧拉角：

3、欧拉角→旋转矩阵、旋转向量：

 

二、旋转矩阵

关于旋转矩阵的推导，大家可以参考之前的博客：
史上最简SLAM零基础解读(1) - 旋转平移矩阵→欧式变换推导
这里就不再次进行讲解了
 

三、旋转向量

1、理论阅读

首先要了解什么是旋转向量，来看看《视觉SLAM十四讲》第二版第3讲(三维空间刚体运动)：有了旋转矩阵来描述旋转，有了变换矩阵描述一个 自由度的三维刚体运动，是不是已经足够了呢?矩阵表示方式至少有以下两个缺点:
        1.SO(3) 的旋转矩阵有9个量，但一次旋转只有3个自由度。因此这种表达方式是冗余的。同理，变换矩阵用 16 个量表达了 自由度的变换。那么，是否有更紧凑的表示呢?
        2. 旋转矩阵自身带有约束:它必须是个正交矩阵，且行列式为 。变换矩阵也是如此。当想估计或优化一个旋转矩阵或变换矩阵时，这些约束会使得求解变得更困难。

因此，我们希望有一种方式能够紧凑地描述旋转和平移。例如，用一个三维向量表达旋转，用一个六维向量表达变换，可行吗?事实上，任意旋转都可以用一个旋转轴和一个旋转角来刻画。于是，我们可以使用一个向量，其方向与旋转轴一致，而长度等于旋转角。这种向量称为旋转向量(或轴角/角轴， Axis-Angle) ，只需一个三维向量即可描述旋转。同样，对于变换矩阵，我们使用一个旋转向量和一个平移向量即可表达一次变换。这时的变量维数正好是六维。

考虑某个用 $\mathbf{R}$ 表示的旋转。如果用旋转向量来描述，假设旋转轴为一个单位长度的向量 $\mathbf{n}$ 角度为 那么向量。"也可以描述这个旋转。于是，我们要问，两种表达方式之间有什么联系吗?事实上推导它们的转换关系并不难。从旋转向量到旋转矩阵的转换过程由罗德里格斯公式(Rodrigues’s Formula) 表明，由于推导过程比较复杂，这里不做描述，只给出转换的结果:
$$\mathbf{R}=\cos \theta \mathbf{I}+(1-\cos \theta )\mathbf{n}{\mathbf{n}}^{\mathrm{T}}+\sin \theta {\mathbf{n}}^{\wedge }.\text{\hspace{1em}(01)}$$从这里，对于旋转矩阵有了大致的了解，那么下面就来推导以下 罗德里格斯公式 吧！

2、公式推导