空间曲面与空间曲线

常见二次曲面3D图像绘制，包含不同截面、整体；

下面图中 红色：x轴  绿色：y轴    蓝色：z轴

函数图像生成软件：Desmos | 图形计算器 

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目录

一、空间曲面

1.二次曲面

(1)椭圆抛物面&旋转抛物面

(2)椭圆锥面&圆锥面

(3)椭球面&球面

 二、空间曲线的切线和法平面问题

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一、空间曲面

1.二次曲面

(1)椭圆抛物面&旋转抛物面

(a)椭圆：S=πab 

(b)椭圆抛物面： 

 

 

  

 (3)旋转抛物面（常考）

 

  

(2)椭圆锥面&圆锥面

1）椭圆锥面

2)圆锥面

(3)椭球面&球面

1)椭球面

 

 

上述三张图可以发现：当只出现两个坐标（xy、yz、xz时），就在两个坐标构成的平面画椭圆，然后没有哪个坐标，图形就沿着那个轴无限延伸。

2)球面（常考）

 二、空间曲线的切线和法平面问题

求曲线（相当于是球面和平面的交线）

{eq1: x^(2)+y^(2)+z^(2)=6  （球面）

eq2: x+y+z=0（平面） }在（1，-2，1）处的切线和法平面方程

E（1，-2，1）向量ED为 x^(2)+y^(2)+z^(2)=6 在E点的法向量n1

向量EF为 x+y+z=0 在E点的法向量n2

由于曲线在E点处的切向量EG肯定既垂直n1,又垂直n2，所以满足向量叉乘的几何意义

则有：EG=向量n1×向量n2

 图示能够让我们更好的理解此类题目，为何可以如下解题

(1)求平面、曲面的法向量n1、n2;

(2)求n1与n2的叉乘即为曲线在该点处的切向量；

(3）根据切向量写，用对称式写切线方程和法平面方程。

这种方法非常便利，甚至不需要知道平面和曲面的交线方程是什么，只算向量就能算出，前提是：理清楚法向量与切向量关系；写对对称式切线方程和法平面方程。

三、二重积分的计算

1.被积函数带有绝对值型，在某区域上求二重积分

这种题型一定要考虑二重积分的几何意义：即

1.当z=f(x,y)>=0时，z曲面在xoy平面上方（如图1），其在区域D上的二重积分，代表以D为底，以曲面z为曲顶的曲顶柱体体积；

2.当z=f(x,y)<0时，z曲面在xoy平面下方（如图2），其在区域D上的二重积分=-(代表以D为底，以曲面z为曲顶的曲顶柱体体积)【体积的负值】；

3.当z=f(x,y)有正有负，即既有在上方也有在下方的部分，如图3

则其在区域D上的二重积分=V上-V下（这很关键，爱出考点）

如图1：为第3种，区域D的方程为：x^(2)+y^(2)=4，该曲面在区域D上有+有-，既有在xoy平面上方的曲面，也有在xoy平面下方的曲面：

 ​​​​​

 在D区域上的值如何求呢？

0.首先，读懂几何意义，本质是计算以D为底，以|f(x,y)|为曲顶的曲顶主体体积。由于f(x,y)有上有下，所以该体积应该是，V总=f(x,y)上部的体积+下部翻折上来的体积V下

而=V上-V下，V上=+V下

 则=+2V下

1.其次，类比一元定积分，由于有“| |”，说明f(x,y)在区域D的不同区域上表达式不同，所以一定要分区域进行计算，如何分？就找临界：令f(x,y)=0，看范围

2.f(x,y)下方的重积分好计算，不过要注意下方的重积分是负的，求体积V下一定要添负号

下面依次展示1)~4)的三维图像，以给出更直观的感受。

1)z=|f(x,y)| 

2)z=f(x,y) 

3)z=f(x,y)>=0 

4)z=f(x,y)<0

1)

 

2)

 

黄色区域内f（x,y）为+，红色区域内f（x,y）为- 

3)

4)