计算机图形学----贝塞尔曲线与曲面相关知识汇总

本文整理自西安交通大学软件学院祝继华老师的计算机图形学课件，请勿转载

贝塞尔曲线与曲面

定义

给定空间n+1个点的位置矢量$P_i（i=0,1,2,\dots ,n）$，则Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是：

$P_i$构成该Bezier曲线的特征多边形

$B_{i,n}(t)$是n次Bernstein基函数：

Betnstein基函数的性质

• 正性

• 端点性质

• 权性

• 对称性

• 递推性

  即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次Bernstein基函数线性组合而成

Bezier曲线的性质

• 端点性质

  • 由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当t=0时，P(0)=$P_0$ ；当t=1时，P(1)=$P_n$。由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。

  • 二阶导矢

    

    上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，r阶导矢只与（r+1）个相邻点有关，与更远点无关。

• k阶导函数的差分表示

  高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定义

  

  

• 对称性

  由控制顶点$P_i^{\ast }=P_{n-i},(i=0,1,...,n)$构造出的新Bezier曲线，与原Bezier曲线形状相同，走向相反

  这个性质说明Bezier曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质

• 凸包性

  

• 几何不变性

  某些几何特性不随坐标变换而变化的特性；

  Bezier曲线位置与形状与其特征多边形顶点$P_i(i=0,1,...,n)$的位置有关：

  

• 变差缩减性

  若Bezier曲线的特征多边形$P_0{P}_1...P_n$是一个平面图形，则平面内任意直线与P(t)的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数；

  反映了Bezier曲线比其特征多边形的波动还小。

• 仿射不变性

  

Bezier曲线的递推算法

de Casteljau(德卡斯特里奥)递推算法

由(n+1)个控制点$P_i(i=0,1,...,n)$定义的n次Bezier曲线$P_0^n$可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线$P_0^{n-1}$与$P_1^{n-1}$的线性组合：

由此得到Bezier曲线的递推计算公式

• 在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。
• 上式中：$P_i^0=P_i$ 是定义Bezier曲线的控制点，$P_0^n$即为曲线$P(t)$上具有参数t的点。
• 算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier曲线的基本算法和标准算法。

当n=3时，算法递推出的$P_i^k$呈直角三角形，对应结果如图所示。从左向右递推，最右边点$P_0^3$即为曲线上的点

Bezier曲线的升阶

升阶：保持Bezier曲线的形状与方向不变，增加定义它的控制顶点数，提高该Bezier曲线的次数

新控制顶点的计算

上述结果说明：

• 新的控制顶点$P_i^{\ast }$是以参数值$\frac{i}{n+1}$按分段线性插值从原始特征多边形得出的
• 升阶后的新的特征多边形在原始特征多边形的凸包内
• 特征多边形更靠近曲线。

Bezier曲面

定义

在一般实际应用中m,n 不大于4

性质

• 几何不变性。
• 对称性。
• 凸包性。
• 除变差缩减性质外，Bezier曲线的其它性质可推广到Bezier曲面

递推算法

Bezier曲线的递推算法可推广至Bezier曲面的情形