整数线性规划实现（matlab分枝界定法）
文章目录
一、本次问题
1.利用第一天所学知识求解：
2.本题理解：
（1）分支界定法
背景：
基本理论（解题步骤）：
求解实现1：
1.第一步
2.第二步
3.第三步
4.第四步
结论：综上，最优解：x1 = 4 ，x2 = 2 ；最优值：340
求解实现2：
结果2：最优解：x1 = 4 ，x2 = 2 ；最优值：340
求解实现3：
结果3：最优解：x1 = 4 ，x2 = 2 ；最优值：340
总结：
一、本次问题
1.利用第一天所学知识求解：
建模学习打卡第一天_菜菜笨小孩的博客-CSDN博客
代码如下：
%打卡第一天
clear all
clc
c=[40 90];%用目标函数系数来确定
a=[9 7 ;7 20];%不等式约束条件左边约束
b=[56 70];%不等式约束条件右边系数
aeq=[];%没有等式约束，因此aeq,beq都为空
beq=[];
lb=[0;0];%没有下限
ub=[inf;inf];%没有上限
[x,fval]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub);
x %获取对应x1,x2
best=c*x%计算最优值2.本题理解：
由于问题要求求解结果都为整数，所以第一问结果错误，那么我们该如何求得想要得整数解呢？
（1）分支界定法
背景：
今天利用matlab来实现求解完全整数规划问题的分支定界法。这里求解的模型为目标函数最小化模型:
基本理论（解题步骤）：
- 分支定界法：用以求解整数规划问题的一种方法。
- 求解步骤：
首先我们规定求解的整数规划问题为A，相应的线性规划问题为B
- 对问题B进行求解
1. 若B无可行解，则A也无可行解，停止计算
2. 若B有最优解，且符合整数条件，该最优解为A的最优解，停止计算
3. 若B有最优解，但不符合整数条件，记它的目标函数值为z*，作为最优值的下界 - 找出问题A的一个整数可行解，其目标函数值作为最优解的上界
- 进行迭代
- 分支，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量x j x_jxj，其值为b j b_jbj，构造两个约束条件，
，分别加入到问题B中，形成两个子问题B1、B2。不考虑整数条件求解这两个子问题。即分支 - 定界。对每个后继问题表明其求解的结果，与其他问题进行比较，将最优目标函数值最小者（不包括问题B）作为新的下界，在已符合整数条件的各分支中，找出目标函数值最小者作为新的上界。
- 剪枝，将目标函数值不在上界、下界中的分支剪去
- 重复1 2 3，直到得到最优解
注意事项：在对两分支进行分解时，优先选择目标函数值最小的分支进行分解。
- 分支，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量x j x_jxj，其值为b j b_jbj，构造两个约束条件，
分支定界法中，通过定界进而进行剪枝，对分支进行了筛选，使我们仅在一部分可行解中寻求最优解，而不是全部穷举出来再寻找，其求解效率更高。
求解实现1：
linprog函数及其参数的意义请看建模学习打卡第一天_菜菜笨小孩的博客-CSDN博客
简单介绍下，首先MATLAB中求解的是目标函数是最小值的问题，但如果我们的目标函数是求最大值，可以通过对目标函数中每一项中乘以-1，将求最大值问题转化为求最小值问题；A，b分别为不等式约束中的系数矩阵。Aeq和beq分别为等式约束中的系数矩阵，lb，和ub分别为每个变量的上下区间；最后c为目标函数中各变量的系数矩阵。
1.第一步
根据上面给出的结果，知道结果不符合题意。
于是我们可以暂定z的上限（最大值）为356，又因为当x1，x2全为0时，z也为0，所以可以暂定z的范围为 0<= z <= 356；并且将对x1值的范围两种情况定为问题A和问题B，并分别为枝干求解
2.第二步
首先，我们对A问题进行分支，改变x1的约束条件，不改变x2的约束条件，即对x1分支得两个子集
x1 =<[4.8092] = 4 ， x1 >= [4.8092] +1 = 5约束条件变为：
9*x1+7*x2<=56
7*x1+20*x2<=70
05 x2>0 先对0
clc
clear all
c=[40 90];%用目标函数系数来确定
a=[9 7 ;7 20];%约束条件左边约束
b=[56 70];%约束条件右边系数
aeq=[];%没有等式约束，因此aeq,beq都为空
beq=[];
lb=[0;0];%下限依然都为0
ub=[4;inf];%x1上限为4，x2没有上限
[x,y]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub); %这里没有等式约束，对应的矩阵为空矩阵
x %获取对应x1,x2
best=c*x%计算最优值
结果为：此时的最优解 x1=4 , x2=2.1 ; 最优值为 349。也不符合题意，所以舍
再对 x1 > 5求解 代码如下：
clc
clear all
c=[40 90];%用目标函数系数来确定
a=[9 7 ;7 20];%约束条件左边约束
b=[56 70];%约束条件右边系数
aeq=[];%没有等式约束，因此aeq,beq都为空
beq=[];
lb=[5;0];% x1的下限变成5，x2下限依然都为0
ub=[inf;inf];%x1，x2没有上限
1
[x,y]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub); %这里没有等式约束，对应的矩阵为空矩阵
x %获取对应x1,x2
best=c*x%计算最优值
结果为：此时的最优解 x1=5 , x2=1.5714 ; 最优值为 341.4286。也不符合题意，所以舍
3.第三步
通过第二部对问题A的分支，我们可以进一步暂定 z 的范围为 0<= z <= 249，又因为第二步中只有x2的为小数，因此我们也就对问题B x2的范围进行限定为 (同上) ：
0=[2.1]+1=3
此时约束条件：
9*x1+7*x2<=56
7*x1+20*x2<=70
0<=x1<=4 2>x2>0 或 x2>3
先对约束条件 0<=x1<=4,0<=x2<=2求解 代码如下：
clc
clear all
c=[40 90];%用目标函数系数来确定
a=[9 7 ;7 20];%约束条件左边约束
b=[56 70];%约束条件右边系数
aeq=[];%没有等式约束，因此aeq,beq都为空
beq=[];
lb=[0;0];%下限依然都为0
ub=[4;2];%x1上限为4，x2上限为2
[x,y]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub); %这里没有等式约束，对应的矩阵为空矩阵
x %获取对应x1,x2
best=c*x%计算最优值
结果：此时的最优解 x1=4 , x2=2 ; 最优值为 340。符合题意，所以暂时留着
再对约束条件 0<=x1<=4,x2>=3求解 代码如下：
clc
clear all
c=[40 90];%用目标函数系数来确定
a=[9 7 ;7 20];%约束条件左边约束
b=[56 70];%约束条件右边系数
aeq=[];%没有等式约束，因此aeq,beq都为空
beq=[];
lb=[0;3];% x1下限依然都为0，x2下限为3
ub=[4;inf];%x1上限为4，x2无上限
[x,y]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub); %这里没有等式约束，对应的矩阵为空矩阵
x %获取对应x1,x2
best=c*x%计算最优值
结果:此时的最优解 x1=1.4286 , x2=3 ; 最优值为 327.1429。不符合题意，所以舍
4.第四步
通过上前的，我们可以进一步确定z的范围：0<= z <=241,此时我们已对问题A完成了完美分支，接下来我需对问题B再进行分支
根据上面的结果，x2=1.5714为小数，因此我们对B中的x2进行分支。
0=[1.5714]+1=2
此时条件约束：
9*x1+7*x2<=56
7*x1+20*x2<=70
x1>=5 1>x2>0 或 x2>2
先对x1>=5，1>x2>0求解，代码如下：
clc
clear all
c=[40 90];%用目标函数系数来确定
a=[9 7 ;7 20];%约束条件左边约束
b=[56 70];%约束条件右边系数
aeq=[];%没有等式约束，因此aeq,beq都为空
beq=[];
lb=[5;0];% x1下限为5，x2下限为0
ub=[inf;1];%x1无上限，x2上限为1
[x,y]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub); %这里没有等式约束，对应的矩阵为空矩阵
x %获取对应x1,x2
best=c*x%计算最优值结果为：此时的最优解 x1=5.4444 , x2=1 ; 最优值为 307.7778。不符合题意，所以舍
再对x1>=5，x2>2求解，代码如下：
clc
clear all
c=[40 90];%用目标函数系数来确定
a=[9 7 ;7 20];%约束条件左边约束
b=[56 70];%约束条件右边系数
aeq=[];%没有等式约束，因此aeq,beq都为空
beq=[];
lb=[5;2];% x1下限为5，x2下限为2
ub=[inf;inf];%x1无上限，x2无上限
[x,y]=linprog(-c,a,b,aeq,beq,lb,ub); %这里没有等式约束，对应的矩阵为空矩阵
x %获取对应x1,x2
best=c*x%计算最优值结果：此时无解
结论：综上，最优解：x1 = 4 ，x2 = 2 ；最优值：340
至于结果为负是因为matlab求解线性规划转化为求最小值
求解实现2：
linprog函数及其参数的意义请看建模学习打卡第一天_菜菜笨小孩的博客-CSDN博客
简单介绍下，首先MATLAB中求解的是目标函数是最小值的问题，但如果我们的目标函数是求最大值，可以通过对目标函数中每一项中乘以-1，将求最大值问题转化为求最小值问题；A，b分别为不等式约束中的系数矩阵。Aeq和beq分别为等式约束中的系数矩阵，lb，和ub分别为每个变量的上下区间；最后c为目标函数中各变量的系数矩阵。
但线性规范有两种比较特殊的情况，即整数规划和0-1整数规划。在之前（不知MATLAB几之前……），MATLAB是不能直接求解这两种规划的，bintprog函数可以用来求0-1整数规划，但求解过程比较麻烦，而且最新版的MATLAB已经遗弃了这个函数，同时提供了一个比较新的、专用于求解整数规划和0-1整数规划的函数——intlinprog。intlinprog的一个原型为：
[x,fval,exitflag]= intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
该函数的使用和linprog函数的使用十分相似，其仅仅在linprog函数的基础上多了一个参数——intcon。在函数intlinprog中，intcon的意义为整数约束变量的位置。在本题中整数变量为x1，x2，所以intcon=[1,2]；fval为最优化的值，一般是一个标量，exitflag意为函数的退出标志。
本题代码如下：
clear all
clc
c=[-40 -90];%用目标函数系数来确定
A=[9 7;7 20];%约束条件左边约束
b=[56 70];%约束条件右边系数
%lb=zeros(2,1);% 生成一个2行1列的全0矩阵,很显示，上面例子中的x,y的最小值为0
%intcon=[1,2];%整数约束变量的位置
%[x,fval,exitflag]=intlinprog(c,intcon,A,b,[],[],lb,[]) %用矩阵lb求不用设置上限
lb=[0;0];%下限依然都为0
ub=[inf;inf];%x1没有上限，x2没有上限
intcon=[1,2];%整数约束变量的位置
[x,fval,exitflag]=intlinprog(c,intcon,A,b,[],[],lb,ub) %此时需要设置上下限结果2：最优解：x1 = 4 ，x2 = 2 ；最优值：340
至于结果为负是因为matlab求解线性规划转化为求最小值
求解实现3：
linprog函数及其参数的意义请看建模学习打卡第一天_菜菜笨小孩的博客-CSDN博客
简单介绍下，首先MATLAB中求解的是目标函数是最小值的问题，但如果我们的目标函数是求最大值，可以通过对目标函数中每一项中乘以-1，将求最大值问题转化为求最小值问题；A，b分别为不等式约束中的系数矩阵。Aeq和beq分别为等式约束中的系数矩阵，lb，和ub分别为每个变量的上下区间；最后c为目标函数中各变量的系数矩阵。
1.首先我们需要定义一个满足分支定理条件的函数：
%A,b,c分别对应此题的不等式约束系数矩阵，不等式约束常数向量，目标函数系数向量
%Aeq 等式约束系数矩阵, Beq 等式约束常数向量
%vlb 定义域的下界 vub 定义域的上界
%optXin 每次迭代的最优x optF 每次迭代最优的f值 iter迭代次数
function [xstar, fxstar, flagOut, iter] = BranchBound1(c,A, b, Aeq, Beq, vlb, vub, optXin, optF, iter)
global optX optVal optFlag;%将最优解定义为全局变量
iter = iter + 1;
optX = optXin; optVal = optF;%更新迭代得到的值
% options = optimoptions("linprog", 'Algorithm', 'interior-point-legacy', 'display', 'none');
[x, fit, status] = linprog(c,A, b, Aeq, Beq, vlb, vub, []);
%status返回算法迭代停止原因
%status = 1 算法收敛于解x，即x是线性规划的最优解
if status ~= 1%没有找到最优解，此分支不用继续迭代下去，返回
xstar = x;
fxstar = fit;
flagOut = status;
return;
end
if max(abs(round(x) - x)) > 1e-3%找到的函数最优解仍不是整数解
if fit > optVal %此题求解的是max,此时的函数值大于之前解得的值
xstar = x;
fxstar = fit;
flagOut = -100;
return;
end
else%此时解得的函数解为整数解，此分支求解结束，不再继续向下求解，返回
if fit > optVal %此题求解的是max,此时的函数值大于之前解得的值
xstar = x;
fxstar = fit;
flagOut = -101;
return;
else %解出的值<之前解得的值，先放入全局变量中暂时存放
optVal = fit;
optX = x;
optFlag = status;
xstar = x;
fxstar = fit;
flagOut = status;
return;
end
end
midX = abs(round(x) - x);%得到x对应的小数部分
notIntV = find(midX > 1e-3);%得到非整数的x的索引值，find()函数返回非0的索引值
pXidx = notIntV(1);%得到第一个非整数x的下标索引
tempVlb = vlb;%临时拷贝一份
tempVub = vub;
%fix(x) 函数将x中元素零方向取整
if vub(pXidx) >= fix(x(pXidx)) + 1%原上界大于此时找到的分界的位置值
tempVlb(pXidx) = fix(x(pXidx)) + 1;%将这个分界位置值作为新的下界参数传入，进一步递归
[~, ~, ~] = BranchBound1(c,A, b, Aeq, Beq, tempVlb, vub, optX, optVal, iter + 1);
end
if vlb(pXidx) <= fix(x(pXidx))%原下界小于此时找到的分界的位置值
tempVub(pXidx) = fix(x(pXidx));%将这个分界位置值作为新的上界参数传入，进一步递归
[~, ~, ~] = BranchBound1(c,A, b, Aeq, Beq, vlb, tempVub, optX, optVal, iter + 1);
end
xstar = optX;
fxstar = optVal;
flagOut = optFlag;
end2.调用上面函数对问题进行求解：
%A,b,c分别对应此题的不等式约束系数矩阵，不等式约束常数向量，目标函数系数向量
%Aeq 等式约束系数矩阵, Beq 等式约束常数向量
%lb 定义域的下界 ub 定义域的上界
clear all
clc
A = [9 7;7 20];
b = [56 70];
c = [-40,-90];%标准格式是求min，此题为max，需要转换一下
lb = [0; 0];%x值的初始范围下界
ub=[inf;inf];%x值的初始范围上界
optX = [0; 0];%存放最优解的x，初始迭代点(0,0)
optVal = 0;%最优解
[x, fit, exitF, iter] = BranchBound1(c,A, b,[], [], lb, ub, optX, optVal, 0)结果3：最优解：x1 = 4 ，x2 = 2 ；最优值：340
至于结果为负是因为matlab求解线性规划转化为求最小值
总结：
综上所述：最优解：x1 = 4 ，x2 = 2 ；最优值：340 为正解；本次通过学习分支界定法求整数线性规划，学了很长时间，最终功夫不负有心人啊！！如果本文章有错误问题，请大家指出！！感谢！