机器学习线性回归——概念梳理及非线性拟合

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在学术研究和工程实践中，线性回归的概念广为人知。虽然线性回归模型简单，但却涵盖了机器学习中相当多的内容，在某些场景，线性回归模型是十分有效的，即使在非线性的场合，借助核函数的思想，线性回归也能胜任。其充分体现了奥卡姆剃刀原理：如无必要，勿增实体。正所谓大道至简。
本文总结了学习线性回归时的一些记录，同时也对线性回归的概念做了一些梳理

从最大似然估计理解线性回归

在解决实际问题时，很多随机现象可以看做众多因素独立作用的综合反应，这类随机现象往往近似服从正态分布。

回到线性回归中，最初，我们使用预测结果与真实结果之间的距离来定义目标函数，通过使目标函数最小，来得到最优的回归系数。
另一方面，我们假设预测结果与真实结果之间的误差是独立同分布的，服从均值为0的高斯分布，通过最大似然估计的方法，同样也可以得到类似通过距离定义的目标函数，同样通过使目标函数最小，来得到最优的回归系数。

三种梯度下降的策略

在求解上面定义的目标函数最小值的过程中，我们可以使用直接法或梯度下降法，直接法要求损失函数有解析解，而梯度下降算法对目标函数的要求较低，在应用中则更为普遍。
而在梯度下降法中，根据实际情况，有三种策略：

1、 批量梯度下降
根据所有样本的平均梯度更新回归系数
2、 随机梯度下降
每拿到一个样本，就根据其梯度更新回归系数
3、 mini-batch
每次根据若干个而非全部样本的平均梯度更新回归系数

正则化策略

上面的求解过程是以测试数据为基础的，容易造成过拟合，影响模型的泛化能力，即在其他数据上的预测能力，所以引入了正则化策略，正则化策略有三种：
1、 岭回归：给目标函数添加L2正则化项，即在使目标函数最小化的同时，使回归系数的平方和最小
2、 Lasso回归：给目标函数添加L1正则化项
3、 ElasticNe回归：给目标函数添加L1正则化项和L2正则化项

模型的评价

在回归分析中，最常用的评价模型的指标就是均方差MSE以及均方根误差RMSE，除此之外，还有回归平方和ESS、残差平方和RSS、总体平方和TSS以及R2

 

                    

案例：波士顿房价预测

 
数据格式如下图所示，最后一列为目标值，即房价，前面13列为属性：

代码如下：

import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.linear_model import LinearRegression, RidgeCV, LassoCV, ElasticNetCV
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.metrics import mean_squared_error


def not_empty(s):
    return s != ''


if __name__ == "__main__":
    # 加载数据并作前置处理
    file_data = pd.read_csv('housing.data', header=None)
    data = np.empty((len(file_data), 14))
    for i, d in enumerate(file_data.values):
        d = list(map(float, list(filter(not_empty, d[0].split(' ')))))
        data[i] = d
    x, y = np.split(data, (13,), axis=1)
    y = y.ravel()
    # 拆分训练数据和测试数据
    x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x, y, train_size=0.7, random_state=0)
    # 定义模型，二次特征+线性回归，其中线性回归分别采用无正则化/Ridge正则化/LASSO正则化/ElasticNet正则化
    models = [Pipeline([('poly', PolynomialFeatures()), ('linear', LinearRegression(fit_intercept=False))]),
              Pipeline([('poly', PolynomialFeatures()), ('linear', RidgeCV(fit_intercept=False))]),
              Pipeline([('poly', PolynomialFeatures()), ('linear', LassoCV(fit_intercept=False))]),
              Pipeline([('poly', PolynomialFeatures()),
                        ('linear', ElasticNetCV(l1_ratio=[0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.99, 1], fit_intercept=False))])]
    # 模型标题
    model_titles = ["二次特征+简单线性回归", "二次特征+岭回归", "二次特征+LASSO回归", "二次特征+ElasticNet回归"]
    mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['simHei']
    mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
    # 绘图准备
    plt.figure(figsize=(15, 10), facecolor='w')
    # 遍历所有模型，分别利用不同的模型进行拟合
    for i in range(len(models)):
        plt.subplot(2, 2, i + 1)
        # 当前模型
        model = models[i]
        print('开始建模: {}'.format(model_titles[i]))
        # 训练模型
        model.fit(x_train, y_train)
        # 对测试数据目标值（房价）进行排序，方便显示
        order = y_test.argsort(axis=0)
        y_test = y_test[order]
        x_test = x_test[order, :]
        # 对测试数据进行预测
        y_pred = model.predict(x_test)
        # R2
        r2 = model.score(x_test, y_test)
        # 均方误差
        mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)
        print('R2:', r2)
        print('均方误差：', mse)
        # 绘制子图
        t = np.arange(len(y_pred))
        plt.plot(t, y_test, 'r-', lw=2, label='真实值')
        plt.plot(t, y_pred, 'g-', lw=2, label='估计值')
        plt.legend(loc='upper left')
        plt.grid(True)
        plt.title(model_titles[i], fontsize=18)
        plt.xlabel('样本编号', fontsize=15)
        plt.ylabel('房屋价格', fontsize=15)

    plt.tight_layout()
    plt.show()
    # plt.savefig('Boston.png', dpi=800)

代码运行结果如下：

作者这水平有限，有不足之处欢迎留言指正
 

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