题目描述
这是 LeetCode 上的 775. 全局倒置与局部倒置 ，难度为 中等。
Tag : 「树状数组」、「数学」
给你一个长度为 n 的整数数组 nums，表示由范围 $[0, n - 1]$ 内所有整数组成的一个排列。
全局倒置 的数目等于满足下述条件不同下标对 $(i, j)$ 的数目：
- $0 <= i < j < n$
- $nums[i] > nums[j]$
局部倒置 的数目等于满足下述条件的下标 i 的数目：
- $0 <= i < n - 1$
- $nums[i] > nums[i + 1]$
当数组 nums 中 全局倒置 的数量等于 局部倒置 的数量时，返回 true ；否则，返回 false 。
示例 1：
输入：nums = [1,0,2]
输出：true
解释：有 1 个全局倒置，和 1 个局部倒置。示例 2：
输入：nums = [1,2,0]
输出：false
解释：有 2 个全局倒置，和 1 个局部倒置。提示：
- $n = nums.length$
- $1 <= n <= 10^5$
- $0 <= nums[i] < n$
nums中的所有整数 互不相同nums是范围 $[0, n - 1]$ 内所有数字组成的一个排列
树状数组
根据题意，对于每个 $nums[i]$ 而言：
- 其左边比它大的 $nums[j]$ 的个数，是以 $nums[i]$ 为右端点的“全局倒置”数量，统计所有以 $nums[i]$ 为右端点的“全局倒置”数量即是总的“全局倒置”数量
a - 同时我们可以将每个 $nums[i]$ 与前一个值进行比较，从而统计总的“局部倒置”数量
b，其中 $i$ 的取值范围为 $[1, n - 1)$
一个容易想到的做法是利用「树状数组」，虽然该做法没有利用到核心条件「$nums$ 是一个 $[0, n - 1]$ 的排列」，但根据数据范围 $n$ 可知该复杂度为 $O(n\log{n})$ 的做法可过，且依赖的条件更少，适用范围更广。
代码：
class Solution {
int n;
int[] tr;
int lowbit(int x) {
return x & -x;
}
void add(int x) {
for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i]++;
}
int query(int x) {
int ans = 0;
for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) ans += tr[i];
return ans;
}
public boolean isIdealPermutation(int[] nums) {
n = nums.length;
tr = new int[n + 10];
add(nums[0] + 1);
int a = 0, b = 0;
for (int i = 1; i < n; i++) {
a += query(n) - query(nums[i] + 1);
b += nums[i] < nums[i - 1] ? 1 : 0;
add(nums[i] + 1);
}
return a == b;
}
}- 时间复杂度：$O(n\log{n})$
- 空间复杂度：$O(n)$
数学
解法一中并没有利用到核心条件「$nums$ 是一个 $[0, n - 1]$ 的排列」，我们可以从该条件以及两类倒置的定义出发进行分析。
提示一：由“局部倒置”组成的集合为由“全局倒置”组成的集合的子集
任意一个“局部倒置”均满足“全局倒置”的定义，因此要判定两者数量是否相同，可转换为统计是否存在「不满足“局部倒置”定义的“全局倒置”」。
提示二：何为不满足“局部倒置”定义的“全局倒置”
结合题意，若存在坐标 $j$ 和 $i$，满足 $nums[j] > nums[i]$ 且 $j + 1 < i$，那么该倒置满足“全局倒置”定义，且不满足“局部倒置”定义。
若存在这样的逆序对，不满足，则有两类倒置数量不同。
提示三：考虑「如何构造」或「如何避免构造」不满足“全局倒置”定义的“局部倒置”
如果我们能够总结出「如何构造」或「如何避免构造」一个不满足“全局倒置”定义的“局部倒置” 所需的条件，问题可以转换为检查 nums 是否满足这样的条件，来得知 nums 是否存在不满足“全局倒置”定义的“局部倒置”。
我们可以结合「$nums$ 是一个 $[0, n - 1]$ 的排列」来分析，若需要避免所有 $nums[j] > nums[i]$ 的逆序对均不满足 $j + 1 < i$，只能是所有逆序对均由相邻数值产生。
代码：
class Solution {
public boolean isIdealPermutation(int[] nums) {
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
if (Math.abs(nums[i] - i) >= 2) return false;
}
return true;
}
}- 时间复杂度：$O(n)$
- 空间复杂度：$O(1)$
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.775 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
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