最小生成树和最短路
这周是高产的一周，今天来讲讲图论：最小生成树和最短路：
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最小生成树：一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。 最小生成树可以用kruskal（克鲁斯卡尔）算法或prim（普里姆）算法求出。
效果：最小生成树能够保证整个拓扑图的所有路径之和最小，但不能保证任意两点之间是最短路径。
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kruskal（克鲁斯卡尔）算法：
此算法可以称为“加边法”，初始最小生成树边数为0，每迭代一次就选择一条满足条件的最小代价边，加入到最小生成树的边集合里。这是一个贪心的过程。
过程：
1.首先把所有的边权从小到大排序；
2. 把图中的n个顶点看成独立的n棵树组成的森林；
3. 选出权值最小两个点形成的边，u，v(u，v应属于不同的树),加入到生成树中；
4. 重复3的过程，直到所有点包括到生成树里或者生成树有n-1条边；
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Prim算法:
此算法可以称为“加点法”，每次迭代选择代价最小的边对应的点，加入到最小生成树中。算法从某一个顶点s开始，逐渐长大覆盖整个连通网的所有顶点。
过程：
1.令所有点的集合为V，任选一个点的的集合为U,未选到的点集合为V-U=VV；
2.在U和VV两个集合能组成的边中选一条权值最小的边加入到生成树中，并且更新集合；
3.重复2的过程，直到所有点包括到生成树里或者生成树有n-1条边；
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prime算法时间复杂度o(n^2)，适合稠密图，可以用二叉堆优化到0(m*log n),但是不如Kruskal算法简单。
#includeKruskal算法
时间复杂度O(m* log m)
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最短路
单源最短路径(single source shortest path ,SSPP问题),给定一张有向图G = (V,E），V是点集，E是边集，| V | = n ,| E | = m ，节点以[1,n]之间的连续整数编号，(x,y,z)表示一条从x出发，到达y，长度为z的有向边。设点1为起点，dist[i]表示从起点1到节点i的最短路径的长度。
Dijkstra算法：
过程：
1：初始化 dist[1]=0,其余节点的dist值为INF(无穷大);
2. 找出一个未被标记的，dist[x] 最小节点 x，然后标记节点x；
3. 扫描节点x的所有出边(x,y,z)，若dist[x]+z < dist[y]，则使用 dist[x]+z 更新dist[y];
4. 重复上述2-3的步骤，知道所有节点被标记；
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Dijkstra算法基于贪心思想，它只适用于所有边的长度都是非负数的图。当边长为非负数时，全局的最小值不可能再被其他的节点更新，故在第一步中选出的节点x必然满足：dist[x]已经是起点到x的最短路径。我们不断选择全局最小值进行标记和扩展，最终可得到起点1到每个节点的最短路径的长度。
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Bellman-Ford 和 SPFA 算法
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给定一张有向图，若对图中的某一条(x,y,z)，有dist[y]<=dist[x]+z成立，则该边慢走三角形不等式。若所有的边都满足三角形不等式，则dist数组就 是所求的最短路。
Bellman-Ford 算法过程：
1.扫描所有边(x,y,z),若dist[y] > dist[x]+z，则用 dist[x]+z更新dist[y]
2.重复上述步骤，知道没有更新操作发生。
Bellman-Ford 算法时间复杂度o(mn)
SPFA 算法就是“队列优化的 Bellman-Ford 算法”
过程
1.建立一个队列，最初队列中只含有起点1；
2.取出队列头部节点x，扫描它的所有出边(x,y,z),若dist[y] > dist[x]+z，则用 dist[x]+z更新dist[y].同时，若y不在队列中，则把y入队。
3.重复上述步骤，知道队列为空。
时间复杂度o(km),k为一个随机常数，但特殊构造的图上，很有可能退化成o(n*m)。
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任意两点间的最短路：Floyd算法：dp大法好,
动态转移方程：d[k][i][j] = min(d[k-1][i][j],d[k-1][i][k]+d[k-1][k][j])
#include