【机器学习】day2：回归（李宏毅）
回归
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- 1. 回归定义
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- 应用举例
- 2. 模型步骤
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- Step 1：模型假设 - 线性模型
- Step 2：模型评估 - 损失函数
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- （1）收集和查看训练数据
- （2）判断众多模型的好坏
- Step 3：最佳模型 - 梯度下降
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- （1）筛选最优的模型（参数w，b）
- （2）梯度下降推演最优模型的过程
- （3）梯度下降算法中面临的挑战
- 3. 验证训练好的模型的好坏
- 4. 过拟合问题
- 5. 步骤优化
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- step1：重新设计模型
- step2：考虑更多参数
- step3优化：加入正则化
1. 回归定义
Regression 就是找到一个函数 functionfunction ，通过输入特征 xx，输出一个数值 ScalarScalar。
应用举例
股市预测（Stock market forecast）
输入：过去10年股票的变动、新闻咨询、公司并购咨询等
输出：预测股市明天的平均值
自动驾驶（Self-driving Car）
输入：无人车上的各个sensor的数据，例如路况、测出的车距等
输出：方向盘的角度
商品推荐（Recommendation）
输入：商品A的特性，商品B的特性
输出：购买商品B的可能性
Pokemon精灵攻击力预测（Combat Power of a pokemon）：
输入：进化前的CP值、物种（Bulbasaur）、血量（HP）、重量（Weight）、高度（Height）
输出：进化后的CP值
2. 模型步骤
step1：模型假设，选择模型框架（线性模型）
step2：模型评估，如何判断众多模型的好坏（损失函数）
step3：模型优化，如何筛选最优的模型（梯度下降）
Step 1：模型假设 - 线性模型
注：后面的 step 2 和 step 3 都是使用的单个特征
Step 2：模型评估 - 损失函数
（1）收集和查看训练数据
（2）判断众多模型的好坏
使用损失函数（Loss function） 来衡量模型的好坏，即求【进化后的CP值】与【模型预测的CP值】差（从数学的角度来讲，是使用距离）。统计10组原始数据（真实值和预测后的数据之差的平方）的和，和越小模型越好。
真实值和预测后的数据之差的平方：
推导公式如下：
推导图示：
我们将 w, b 在二维坐标图中展示，如图所示：
图中每一个点代表着一个模型对应的 w 和 b
颜色越深代表模型更优
可以与后面的等高线图进行对比
Step 3：最佳模型 - 梯度下降
（1）筛选最优的模型（参数w，b）
使用梯度下降：
步骤1：随机选取一个 w0
步骤2：计算微分，也就是当前的斜率，根据斜率来判定移动的方向
小于0向右移动（增加w）
大于0向左移动（减少w）
步骤3：根据学习率移动 重复步骤2和步骤3，直到找到最低点
单参数 w 的情况：
多参数 w,b 的情况：
w和b偏微分的计算方法
（2）梯度下降推演最优模型的过程
- 每一条线围成的圈就是等高线，代表损失函数的值，颜色约深的区域代表的损失函数越小
- 红色的箭头代表等高线的法线方向
- 沿着红色箭头更新参数
（3）梯度下降算法中面临的挑战
3. 验证训练好的模型的好坏
使用训练集和测试集的平均误差来验证模型的好坏
我们使用将10组原始数据，训练集求得平均误差为31.9，如图所示：
然后再使用10组Pokemons测试模型，测试集求得平均误差为35.0 如图所示：
由上图可知，训练集的误差值小于预测值的误差值，这是因为，模型本来就是根据训练集选取的。
要想再减少误差值，需要重新定义模型：
4. 过拟合问题
在模型上，我们再可以进一部优化，使用更高次方的模型，如图所示
由上面的图可知：
- 训练集平均误差【15.4】【15.3】【14.9】【12.8】
- 测试集平均误差【18.4】【18.1】【28.8】【232.1】
可知，测试集的平均误差并没有随着训练集平均误差的减小而减小，反而减小到一定值后增大，这就是过拟合问题。
但是，对于训练数据来说：
每一个模型结果都是一个集合，5次模型⊇4次模型⊇3次模型，所以在4次模型里面找到的最佳模型，肯定不会比5次模型里面找到更差。
注：上图中的椭圆形称为函数空间
简单来说函数空间就是：满足给定条件的函数的集合（这里的空间是数学中的Space含义，并未物理意义上的空间，时间这种概念的空间）；但更准确的，空间的概念是在集合上的更进一步，定义了元素的一些运算。
比如：要求拟合的函数形式是 y=ax^2 +bx+c，a b c 为实数 (这就定义了一个函数空间), 那么y =3x^2+ 2x+1, y=0x^2+0x+3=3, y=0x^2+5x+0=5x 这样这些函数都满足这个条件，由所有满足给定条件的函数组成的集合就是这个函数空间，再比如这个例子里 y=2x^3+1就不属于这个函数空间（不满足定义的形式）。
5. 步骤优化
由上面的左图可知：输入更多Pokemons数据，相同的起始CP值，但进化后的CP差距竟然是2倍。
由上面的右图可知：其实将Pokemons种类通过颜色区分，就会发现Pokemons种类是隐藏得比较深得特征，不同Pokemons种类影响了进化后的CP值的结果。
Step1优化：2个input的四个线性模型是合并到一个线性模型中
Step2优化：如果希望模型更强大表现更好（更多参数，更多input）
Step3优化：加入正则化
step1：重新设计模型
将有两个输入的四个线性模型合并到一个线性模型中：
此时，训练测试后的结果如图所示：
由上图可知：误差更小，效果更好。
step2：考虑更多参数
如果还想让模型更强大，可以考虑更多的参数，更多的输入。
在最开始我们有很多特征，图形化分析特征，将血量（HP）、重量（Weight）、高度（Height）也加入到模型中：
由上图可知：更多特征，更多input，数据量没有明显增加，仍旧导致overfitting。
step3优化：加入正则化
更多特征，但是权重 w 可能会使某些特征权值过高，仍旧导致overfitting，所以加入正则化。
上图中的红框里面没有加b是因为，正则化中一般不考虑bias，因为我们预期的是想要一个平滑的function，而b的大小和function的平滑程度没有关系，调整b时只能使function上下移动。
由上图可知：在很多应用场景中，并不是 w 越小模型越平滑越好，但是经验值告诉我们 w 越小大部分情况下都是好的。