概率论基础（sigma域、测度）
一、样本空间 & 事件
样本空间 Ω \Omega Ω指一个实验的可能结果的集合
ω ∈ Ω \omega \in \Omega ω∈Ω称为 样本结果|样本实现|样本元素
Ω \Omega Ω的子集被称为事件
对于事件 A A A，符号 A c A^c Ac表示它的对于样本空间的补集，即 A c = C Ω A = { ω ∈ Ω , ω ∉ A } A^c=\mathrm C_\Omega A =\{\omega \in \Omega, \omega \notin A\} Ac=CΩA={ω∈Ω,ω∈/A}
对于单调递增事件序列 A 1 ⊂ A 2 ⊂ A 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⊂ A n A_1\subset A_2\subset A_2 ··· \subset A_n A1⊂A2⊂A2⋅⋅⋅⊂An，记 lim n → ∞ A n = ⋃ i = 0 ∞ A i \displaystyle{\lim_{n \to \infty} A_n = \bigcup_{i=0}^\infty A_i} n→∞limAn=i=0⋃∞Ai
对于单调递减事件序列 A 1 ⊃ A 2 ⊃ A 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⊃ A n A_1\supset A_2\supset A_2 ··· \supset A_n A1⊃A2⊃A2⋅⋅⋅⊃An，记 lim n → ∞ A n = ⋂ i = 0 ∞ A i \displaystyle{\lim_{n \to \infty} A_n = \bigcap_{i=0}^\infty A_i} n→∞limAn=i=0⋂∞Ai
例. 设 Ω = R , A i = [ 0 , 1 i ) \Omega=\mathbb R,\ A_i=[0, \displaystyle\frac{1}{i}) Ω=R, Ai=[0,i1)，那么有
⋃ i = 0 ∞ A i = [ 0 , 1 ) ⋂ i = 0 ∞ A i = { 0 } \bigcup_{i=0}^\infty A_i=[0,1) \quad\quad\quad\quad \bigcap_{i=0}^\infty A_i=\{0\} i=0⋃∞Ai=[0,1)i=0⋂∞Ai={0}
二、 σ \sigma σ域
设 A \mathscr A A是样本空间 Ω \Omega Ω的子集的集合，如果 A \mathscr A A满足以下条件
( 1 ) ∅ ∈ A ( 2 ) 若 A ∈ A ， 则 A c ∈ A ( 3 ) 若 A i ∈ A ， 则 ⋃ i A i ∈ A \begin{aligned} & (1)\ \varnothing \in \mathscr A \\ & (2)\ 若A\in\mathscr A，则A^c\in\mathscr A \\ & (3)\ 若A_i\in\mathscr A，则\bigcup_i A_i\in\mathscr A \end{aligned} (1) ∅∈A(2) 若A∈A，则Ac∈A(3) 若Ai∈A，则i⋃Ai∈A
那么我们称 A \mathscr A A是一个 σ \sigma σ域 或 σ \sigma σ代数
注意： σ \sigma σ域是集合的集合
例. 设 A A A是样本空间 Ω \Omega Ω的一个合适非空子集（即 A ≠ ∅ , A ≠ Ω A \neq \varnothing, A\neq\Omega A=∅,A=Ω），那么包含 A A A的最小 σ \sigma σ域是：
A m i n = { ∅ , Ω , A , A c } \mathscr A_{min} = \{\varnothing, \Omega, A, A^c\} Amin={∅,Ω,A,Ac}
设 Ω = R \Omega=\mathbb R Ω=R， A \mathscr A A是包含 R \mathbb R R的所有开区间子集的集合的 σ \sigma σ域，
那么，称 A \mathscr A A为关于 R \mathbb R R的Borel域，记为 B ( R ) \mathcal B(\mathbb R) B(R)
三、测度
若 A \mathscr A A是由 Ω \Omega Ω得出的 σ \sigma σ域，那么 ( Ω , A ) (\Omega, \mathscr A) (Ω,A)二元组称为可测空间，
A \mathscr A A中的元素称为可测集
设 ( Ω , A ) (\Omega, \mathscr A) (Ω,A)是一个可测空间， μ \mu μ是一个定义在 A \mathscr A A上的函数， μ : A ⟼ R \mu: \mathscr A\longmapsto\mathbb R μ:A⟼R
若 μ \mu μ满足：
( 1 ) 0 ≤ μ ( A ) ≤ ∞ ( 2 ) μ ( ∅ ) = 0 ( 3 ) 若 A i ∈ A 且 A i ∩ A j = i ≠ j ∅ ， 则 μ ( ⋃ i A i ) = ∑ i μ ( A i ) \begin{aligned} & (1)\ 0 \le \mu(A) \le \infty \\ & (2)\ \mu(\varnothing) = 0 \\ & (3)\ 若A_i\in\mathscr A且A_i\cap A_j\overset{\mathrm{i\ne j}}{=}\varnothing，则\mu(\bigcup_i A_i)=\sum_i\mu(A_i) \end{aligned} (1) 0≤μ(A)≤∞(2) μ(∅)=0(3) 若Ai∈A且Ai∩Aj=i=j∅，则μ(i⋃Ai)=i∑μ(Ai)
那么我们称 μ \mu μ为测度，
称 ( Ω , A , μ ) (\Omega, \mathscr A, \mu) (Ω,A,μ)为测度空间
特殊地，若 μ ( Ω ) = 1 \mu(\Omega)=1 μ(Ω)=1，则称 μ \mu μ为概率测度，可记为大 P \mathrm P P
称 ( Ω , A , P ) (\Omega, \mathscr A, \mathrm P) (Ω,A,P)为概率空间