三维坐标旋转矩阵推导过程(包看懂)

推导前提:

  1. 坐标使用右手坐标系,角度逆时针旋转为正。三维坐标旋转矩阵推导过程(包看懂)_第1张图片
  2. X轴旋转角度为 俯仰角 Pitch
  3. Y轴旋转角度为 偏航角 YawHead
  4. Z轴旋转角度为 翻滚角 Roll

一、平面二维坐标点的旋转

如右图所示,根据三角函数关系,可以列出向量OP与OP'的坐标表示形式:

x = |OP|•cosα               x′ = |OP|•cos(α+β)

y = |OP|•sinα               y′ = |OP|•sin(α+β)

Px′y′)表达式展开:

x′ = |OP|•cos(α+β) = |OP|•(cosα•cosβ - sinα•sinβ) = x•cosβ - y•sinβ

y′ = |OP|•sin(α+β) = |OP|•(sinα•cosβ + cosα•sinβ) = x•sinβ + y•cosβ

为方便运算理解,我们将二维点旋转表示为矩阵:

                                  ​​​​​​​        三维坐标旋转矩阵推导过程(包看懂)_第2张图片

以上便是二维坐标点的旋转矩阵,接下来我们来推导三维坐标点的旋转矩阵

二、立体三维坐标点的旋转三维坐标旋转矩阵推导过程(包看懂)_第3张图片

1、绕Z轴旋转

参考二维点旋转矩阵同样的推导流程,我们可以推导出来三维点绕Z轴旋转的坐标表达式:

x′ = |OP|•cos(α+β) = |OP|•(cosα•cosβ - sinα•sinβ) = x•cosβ - y•sinβ

y′ = |OP|•sin(α+β) = |OP|•(sinα•cosβ + cosα•sinβ) = x•sinβ + y•cosβ

z′ = z

为方便运算理解,我们将三维点旋转表示为矩阵:        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        

        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​ 三维坐标旋转矩阵推导过程(包看懂)_第4张图片

2、绕Y轴旋转

                         三维坐标旋转矩阵推导过程(包看懂)_第5张图片​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        三维坐标旋转矩阵推导过程(包看懂)_第6张图片

3、绕X轴旋转

        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​ 三维坐标旋转矩阵推导过程(包看懂)_第7张图片三维坐标旋转矩阵推导过程(包看懂)_第8张图片

 4、绕三轴旋转(先绕x,再绕y,最后绕z轴旋转。)

       三轴全旋转矩阵 =

 整理计算后表达式为:

综上所推导,得到三维旋转点的对应关系:

        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        ​​​​​​​        三维坐标旋转矩阵推导过程(包看懂)_第9张图片

旋转矩阵推导过程PDF文档下载

你可能感兴趣的:(点云,旋转矩阵,计算机视觉,算法,点云,三维坐标点的旋转,旋转矩阵)