李沐动手学深度学习第四章-4.4模型选择、欠拟合和过拟合

如何发现可以泛化的模式是机器学习的根本问题。

1. 训练误差和泛化误差

训练误差（training error）是指模型在训练数据集上计算得到的误差。 泛化误差（generalization error）是指， 模型应用在同样从原始样本的分布中抽取的无限多数据样本时，模型误差的期望。 

 考虑对掷硬币的结果（类别0：正面，类别1：反面）进行分类的问题。 假设硬币是公平的，无论我们想出什么算法，泛化误差始终是1/2。 然而，对于大多数算法，我们应该期望训练误差会更低（取决于运气）。 考虑数据集{0，1，1，1，0，1}。 我们的算法不需要额外的特征，将倾向于总是预测多数类， 从我们有限的样本来看，它似乎是1占主流。 在这种情况下，总是预测类1的模型将产生1/3的误差， 这比我们的泛化误差要好得多。 当我们逐渐增加数据量，正面比例明显偏离1/2的可能性将会降低， 我们的训练误差将与泛化误差相匹配。

 1.1. 统计学习理论

我们假设训练数据和测试数据都是从相同的分布中独立提取的。 这通常被称为独立同分布假设（i.i.d. assumption）， 这意味着对数据进行采样的过程没有进行“记忆”。 换句话说，抽取的第2个样本和第3个样本的相关性， 并不比抽取的第2个样本和第200万个样本的相关性更强。

在接下来的章节中，我们将讨论因违背独立同分布假设而引起的问题。 目前，即使认为独立同分布假设是理所当然的，理解泛化性也是一个困难的问题。

1.2. 模型复杂性 

当我们有简单的模型和大量的数据时，我们期望泛化误差与训练误差相近。 当我们有更复杂的模型和更少的样本时，我们预计训练误差会下降，但泛化误差会增大。 

我们将重点介绍几个倾向于影响模型泛化的因素：

1. 可调整参数的数量。当可调整参数的数量（有时称为自由度）很大时，模型往往更容易过拟合。

2. 参数采用的值。当权重的取值范围较大时，模型可能更容易过拟合。

3. 训练样本的数量。即使你的模型很简单，也很容易过拟合只包含一两个样本的数据集。而过拟合一个有数百万个样本的数据集则需要一个极其灵活的模型。

2. 模型选择 

 训练多层感知机模型时，我们可能希望比较具有 不同数量的隐藏层、不同数量的隐藏单元以及不同的激活函数组合的模型。 为了确定候选模型中的最佳模型，我们通常会使用验证集。

2.2. K折交叉验证 

  原始训练数据被分成K个不重叠的子集。 然后执行K次模型训练和验证，每次在K−1个子集上进行训练， 并在剩余的一个子集（在该轮中没有用于训练的子集）上进行验证。 最后，通过对K次实验的结果取平均来估计训练和验证误差。

3. 欠拟合还是过拟合

3.1. 模型复杂性

 

 3.2. 数据集大小

 训练数据集中的样本越少，我们就越有可能（且更严重地）过拟合。 随着训练数据量的增加，泛化误差通常会减小。

4. 多项式回归

import math
import numpy as np
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

4.1. 生成数据集

给定x，我们将使用以下三阶多项式来生成训练和测试数据的标签:

 噪声项ϵ服从均值为0且标准差为0.1的正态分布。 在优化的过程中，我们通常希望避免非常大的梯度值或损失值。 这就是我们将特征从 xi 调整为 xi / i! 的原因， 这样可以避免很大的i带来的特别大的指数值。 我们将为训练集和测试集各生成100个样本。

max_degree = 20  # 多项式的最大阶数
n_train, n_test = 100, 100  # 训练和测试数据集大小
true_w = np.zeros(max_degree)  # 分配大量的空间
true_w[0:4] = np.array([5, 1.2, -3.4, 5.6])

features = np.random.normal(size=(n_train + n_test, 1))
np.random.shuffle(features)
poly_features = np.power(features, np.arange(max_degree).reshape(1, -1))
for i in range(max_degree):
    poly_features[:, i] /= math.gamma(i + 1)  # gamma(n)=(n-1)!
# labels的维度:(n_train+n_test,)
labels = np.dot(poly_features, true_w)
labels += np.random.normal(scale=0.1, size=labels.shape)

同样，存储在poly_features中的单项式由gamma函数重新缩放， 其中Γ(n)=(n−1)!。 从生成的数据集中查看一下前2个样本， 第一个值是与偏置相对应的常量特征。

# NumPy ndarray转换为tensor
true_w, features, poly_features, labels = [torch.tensor(x, dtype=
    torch.float32) for x in [true_w, features, poly_features, labels]]

features[:2], poly_features[:2, :], labels[:2]

4.2. 对模型进行训练和测试

让我们实现一个函数来评估模型在给定数据集上的损失:

def evaluate_loss(net, data_iter, loss):  #@save
    """评估给定数据集上模型的损失"""
    metric = d2l.Accumulator(2)  # 损失的总和,样本数量
    for X, y in data_iter:
        out = net(X)
        y = y.reshape(out.shape)
        l = loss(out, y)
        metric.add(l.sum(), l.numel())
    return metric[0] / metric[1]

现在定义训练函数:

def train(train_features, test_features, train_labels, test_labels,
          num_epochs=400):
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')
    input_shape = train_features.shape[-1]
    # 不设置偏置，因为我们已经在多项式中实现了它
    net = nn.Sequential(nn.Linear(input_shape, 1, bias=False))
    batch_size = min(10, train_labels.shape[0])
    train_iter = d2l.load_array((train_features, train_labels.reshape(-1,1)),
                                batch_size)
    test_iter = d2l.load_array((test_features, test_labels.reshape(-1,1)),
                               batch_size, is_train=False)
    trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.01)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[1, num_epochs], ylim=[1e-3, 1e2],
                            legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        d2l.train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, trainer)
        if epoch == 0 or (epoch + 1) % 20 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('weight:', net[0].weight.data.numpy())

4.3. 三阶多项式函数拟合(正常)

将首先使用三阶多项式函数，它与数据生成函数的阶数相同。

# 从多项式特征中选择前4个维度，即1,x,x^2/2!,x^3/3!
train(poly_features[:n_train, :4], poly_features[n_train:, :4],
      labels[:n_train], labels[n_train:])

 4.4. 线性函数拟合(欠拟合)

再看看线性函数拟合

# 从多项式特征中选择前2个维度，即1和x
train(poly_features[:n_train, :2], poly_features[n_train:, :2],
      labels[:n_train], labels[n_train:])

 

4.5. 高阶多项式函数拟合(过拟合)

现在，让我们尝试使用一个阶数过高的多项式来训练模型。

# 从多项式特征中选取所有维度
train(poly_features[:n_train, :], poly_features[n_train:, :],
      labels[:n_train], labels[n_train:], num_epochs=1500)

 接下来继续讨论过拟合问题和处理这些问题的方法，例如权重衰减和dropout。