数值分析 第一章：绪论

1.2误差基础知识

1.2.1误差来源

①.数学模型与实际问题的差异称为模型误差。

②.数学模型中常常还包含有一些参数，是通过仪表观测得到的，将其中包含的误差称之为观测误差。

③.将数值问题的精确解与待求解模型的理论分析解之间的差异，称之为截断误差或方法误差。

④.因为在计算机实现数值方法的过程中，计算机表示浮点数采用的是固定有限字长，因而仅能够区分有限个信息，准确表示在某个有限范围内的某些有理数，不能准确的表述数学中所有的实数，这样在计算机中表示的原始输入数据、中间计算数据、以及最终的输出结果必然产生误差，称此类误差为舍入误差。

1.2.2误差度量

①.绝对误差：设 x* 是准确值 x 的一个近似，称 e（x*）= x* - x 为 x* 近似 x 的绝对误差，简称误差。（简而言之：近似值减去精确值=误差）

②.绝对误差限：通常准确值 x 是不知道的，故不能计算出绝对误差 e* 。如果存在着的正数 a* = a（x*），使得绝对误差 |e*| = | x* - x | <= a* ，则称 a* 为 x* 近似 x 的一个绝对误差限，简称误差限。（简而言之：近似值的误差不会超过误差限）

③.相对误差：设 x* 是准确值 x（≠0）的一个近似，称 er（x*）= （x*-x）/x 为 x* 近似 x 的相对误差。相对误差越小，代表近似程度更好。（简：相对误差就是看误差部分占总数的比例）

④.相对误差限：数值 |er*| 的上界就是相对误差限。 注：er* = e*/x* （简：绝对误差除以近似值）

⑤.有效数字：

⑥.有效数：当 x* 精确到末尾，即有 n=p ，则称 x* 为有效数。（有效数的末尾不能随意添加零）

例题（助理解）

⑦.三种度量之间的关系：

例题（助理解）

1.2.3初值误差传播

近似数参加运算后所得之值一般也是近似值，含有误差，将这一现象称为误差传播。

①用泰勒公式分析初值的误差传播规律：(略)
②区间分析法：（略）
③计算函数值的条件数：设 x* 是 x 的较好近似，由微分中值定理知，可微函数 f（x）在这两点的函数值只差满足：

上式反映了函数值绝对误差与自变量绝对误差之间的关系，并且有如下结论：当 | f‘（x）| < 1时，函数值的扰动比自变量的微小变化还要小；而当 |f’（x）| 很大时，自变量的微小变化，将引起函数值较大的扰动，此时，称 x 是函数 f 在绝对误差意义下的坏函数值点。

从1.15式可以推出函数值相对误差与自变量相对误差的联系：

1.3 舍入误差分析及数值稳定性