双立方差值，菜鸟的理解
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一：数学原理
如果已知一个函数f(x)以及它在x=0,x=1处的导数，那么函数可以在[0,1]之间插值，当函数
表达为三次多项式时我们称之谓立方插值。一个三次多项式及其导数：
f(x) =ax^3 +bx^2 + cx + d
f’(x)=3ax^2 + 2bx +c
多项式在x=0, x=1处值及其导数值为：
f(0)= d;
f(1)= a + b + c + d;
f’(0)=c
f’(1)=3a + 2b + c
上述的四个等式可以等价的变换为:
a= 2f(0) – 2f(1) + f’(0) + f’(1)
b= -3f(0) + 3f(1) – 2f’(0) – f’(1)
c= f’(0)
d= f’(1)
假设你有四个点值p0, p1, p2, p3分别在x=-1, x=0, x=1, x=2, 把值分别指定到f(0), f(1), f’(0),
f’(1)中为:
f(0)= p1
f(1)= p2
f’(0)= (p2 – p0)/2
f’(1)= (p3-p1)/2
这个我们的立方插值公式变成:
f(p0,p1,p2,p3, x) = (-1/2p0 + 3/2p1 -3/2p2+ 1/2p3)x^3 + (p0-5/2p1 + 2p2 -1/2d)x^2 + (-1/2p0 +
1/2p2)x + p1
=======================================================彩笔的理解
一维的插值，这样理解：前提是y=f（x）是一个三次函数，且在【0,1】可导。已知条件：只知道有四个点值p0, p1, p2, p3分别在x=-1, x=0, x=1, x=2的值，即p0=f(-1),p1=f(0),p2=f(1),p3=f(2)。问题：想推算一下f（x）在【0,1】区间上的任意点的y值。这就是一个进行插值的过程，既求取一个拟合的3次函数，至于为什么是四个点才能确定请看上面的推算，这里我没有深入探究，反正人家有自己的道理，咱不求甚解。结论：f(p0,p1,p2,p3, x) = (-1/2p0 + 3/2p1 -3/2p2+ 1/2p3)x^3 + (p0-5/2p1 + 2p2 -1/2d)x^2 + (-1/2p0 +1/2p2)x + p1；（就是用着四个点确定了x前面的系数）！
下面我们需要把这个y=f（x）=f(p0,p1,p2,p3, x)的拟合方法推广到二维空间，就是z=G（x，y），我们需要推算z的值，图像上的解释就是知道了图像坐标（x，y）推算该点的灰度值。拟合的函数的结果为：G(x, y) = f (f (p00, p01, p02, p03, y), f(p10,p11, p12, p13, y), f(p20, p21, p22, p23, y), f(p30, p31, p32, p33, y), x)=G（x，y）=f（y0，y1，y2，y3，x）~~~~这个好像需要迭代好几层，套公式吧，值得注意的是y=f（p0，p1，p2，p3，x）中点前面的系数可是根据实际情况变化的，这里只是因为给的四个点是这样的值才是这样的系数取值。
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双立方插值是立方插值在二维空间的表达, 插值公式可以表述为:
G(x, y) = f (f (p00, p01, p02, p03, y), f(p10,p11, p12, p13, y), f(p20, p21, p22, p23, y), f(p30, p31, p32, p33, y), x)
解出其中的16个参数，即可得带G(x, y)目标插值点的值。