向量
对于x,y,z是向量,c,d为常数
x+y=y+x
x+(y+z)=(x+y)+z
x+0=x
c(x+y)=(cx)+(cy)
c(dy)=(cd)y
xy=yx
(cx)y=c(xy)
x*(y+z)=xy+xz
矩阵
对于矩阵A,B,C,c为常数
A(BC)=(AB)C
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
r(AB)=(rA)B=A(rB)
阶梯矩阵
1.全为0的行在矩阵的最底层
2.每个leading entry(每行第一个不是0的元素),与上一行相比都在右面,(leading entry也被称为pivot)
3.在每个leading entry下的都是0
最简阶梯矩阵
1.所有的leading entry都是1
2.leading entry所在行除自己是1,其他都是0
举例:
对于一个m*n矩阵A,一个向量x,Ax=0的解被称为A的kernel(记为ker(A)),或是A的null_space(记为Null(A))
举例:
线性相关
对于两个m*n矩阵A,B,如果A能通过行变换变成B,则A和B线性相关
如果A和B线性相关,Ax=0和Bx=0有相同的解,即ker(A)=ker(B)
对于一个m*n矩阵A,Range(A)={Ax:x is in R}
举例:
线性函数
一个函数L,Rn->Rm(n维空间->m维空间)被称为线性,如果对任意的x,y属于Rn有
L(cx+dy)=cL(x)+dL(y)
子空间
一个n维向量子集V如果满足,对于任意x,y属于V都有cx+dy属于V,则V被称为子空间
1.一个mn矩阵的kernal是n维空间的子空间
2.一个mn矩阵的range是m维空间的子空间
举例:
正交补空间
对于一个子空间V,如果有一个子空间V满足其中所有向量与V中向量相乘都为0,则V被称为V的正交补空间
举例:
对于k个向量v1,v2,v3,……vk,它们的线性组合(linear combination)a1v1+a2v2+a3v3+……+akvk的所有可能被称为这k个向量的span
举例:
对于k个向量v1,v2,v3,……vk,a1v1+a2v2+a3v3+……+akvk=0,
a1,a2,a3……,ak没有非零解,则这k个向量称为线性无关,否则称为线性相关(linear dependent)
以下陈述等价:
基
如果对于V中的任意向量,都可以用a1v1+a2v2+……+akvk唯一表示,则称v1,v2,v3,……vk为V的基(basis)
举例:
基中的向量的个数
一个子空间的不同basis的向量个数是相同的
子空间的维度
对于一个子空间V,定义维度(dimension)为基中向量的个数(size of basis),写作dim(V)
举例:
秩
最简行阶梯矩阵中非零行的个数
对于一个m*n矩阵,
rank(A)+dim(ker(A))=n
rank(A)<=min(m,n)
ker(A)=0当且仅当rank(A)=n
k个向量线性无关,当[v1|v2|……|vk]的rank为k