数值分析总结笔记2——矩阵算子范数、相容矩阵范数性质

一、矩阵算子范数

1.提出

在计算中经常出现矩阵和向量的乘积，因此希望矩阵范数和向量范数间有某种协调性，因此提出了矩阵范数和向量范数的相容性：

• 注意写法：matrix：M，矩阵；vector：V，向量

上一次提到相容性，是在矩阵范数内部的相容性，是由于矩阵相乘所提出的

2.算子范数

由关系式：

定义的矩阵范数 为从属向量范数 的矩阵范数，简称 从属范数/算子范数

• 算子范数为矩阵范数
• 与向量范数是从属关系

通过证明，可知算子范数满足：
1.存在性
2.是矩阵范数（符合非负性、齐次性、三角不等式）
3.满足矩阵范数的相容性

3.具体算子范数

	写法	名称	解释
1		列和范数	元素的模每列相加 → 选最大值
∞		行和范数	元素的模每行相加 →选最大值
2		谱范数	λmax为最大特征值

※ 范数写法区分

目前已经提到了4种范数，分别为：

名称	写法	注意事项
向量范数	//x//	在写到p-范数时，给范数加下标p
向量加权范数		//x//的下标为矩阵W
矩阵范数	//A//	写到具体的矩阵范数时，下标为 m1,m∞，F
算子范数		算子范数的下标直接为 1，2，∞（区别于矩阵范数，下标没有m）