数值分析第八章知识点总结——常微分方程数值解法

常微分方程数值解法

--------以下为各部分具体知识点：

一、引言

1.1 背景

1、原因：对于大量来源于实际问题的常微分方程，该初值问题存在唯一解，但其精确解却不能用初等函数表示出来。
2、常见方法：解析近似方法（级数解法，逐次逼近法），数值解法
3、相关概念：单步法、两步方法、多步法、显示公式、隐式公式

1.2 基本思想

$$y(x_{n+1})-y(x_n)={\int }_{x_n}^{x_{n+1}}f(x,y(x))dx$$

• 左矩形：
  $${\int }_{x_n}^{x_{n+1}}f(x,y(x))dx=hf(x_n,y(x_n))+O(h^2)$$
• $Euler$ 公式
  $$y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n),n=0,1,\cdot \cdot \cdot$$
• 梯形差分公式
  $$\{\begin{array}{l}{y}_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}[f(x_n,y_n)+f(x_{n+1},y_{n+1})]\\ y_0=\alpha ,n=0,1,\cdot \cdot \cdot \end{array}$$
• $Euler$ 中点公式
  $$\{\begin{array}{l}{y}_{n+1}=y_{n-1}+2hf(x_n,y_n)\\ y_0=\alpha ,n=1,2,\cdot \cdot \cdot \end{array}$$

二、改进的 $Euler$ 方法和 $Taylor$ 展开方法

2.1 改进的 $Euler$ 方法

$$\{\begin{array}{l}{y}_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}(K_1+K_2)\\ K_1=f(x_n,y_n)\\ K_2=f(x_n+h,y_n+h{K}_1)\\ y_0=\alpha ,n=0,1,2,\cdot \cdot \cdot \end{array}$$

2.2 误差分析

• 局部截断误差
  $$y(x_{n+1})-y_{n+1}$$
• $Euler$ 公式的局部截断误差： $O(h^2)$
• 改进的 $Euler$ 公式的局部截断误差 ：$O(h^3)$
• 梯形公式的局部截断误差 ：$O(h^3)$
• $p$ 阶方法：如果单步差分方法的局部截断误差为 $O(h^{p+1})$ 阶，则称该方法为 $p$ 阶方法。

2.3 $Taylor$ 展开方法

$$y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n)+\frac{h^2}{2}{f}^{(1)}(x_n,y_n)+\cdot \cdot \cdot +\frac{h^p}{p!}{f}^{(p-1)}(x_n,y_n)$$

三、$Runge-Kutta$ 方法

3.1 公式

3.2 二阶 $R-K$

1、公式
2、截断误差

3.3 三阶 $R-K$

1、公式
2、截断误差

3.4 四阶 $R-K$

1、公式
2、截断误差

3.5 变步长 $R-K$

四、单步方法的收敛性和稳定性

4.1 单步方法的收敛性

$$|\Phi (x,y,h)-\Phi (x,\overline{y},h)|\le L|y-\overline{y}|$$

4.2 稳定性

• 绝对稳定、绝对稳定域、绝对稳定区间
• 公式
  $$y_{n+1}=f(\lambda ,h)y_n$$

五、线性多步方法（利用待定系数法构造线性多步方法）