设 x ∗ x^{*} x∗是方程f(x)=0的准确解, x k x_k xk是二分法产生的第k次迭代的近似解,
[a,b]是二分法开始时的隔根区间,则有 ∣ x k − x ∗ ∣ ≤ b − a 2 n + 1 \left|x_{k}-x^{*}\right| \leq \frac{b-a}{2^{n+1}} ∣xk−x∗∣≤2n+1b−a
∣ x n − x n − 1 ∣ = ∣ 1 2 ( a n + b n ) − 1 2 ( a n − 1 + b n − 1 ) ∣ \left|x_{n}-x_{n-1}\right|=\left|\frac{1}{2}\left(a_{n}+b_{n}\right)-\frac{1}{2}\left(a_{n-1}+b_{n-1}\right)\right| ∣xn−xn−1∣=∣∣∣∣21(an+bn)−21(an−1+bn−1)∣∣∣∣
令 f ( x ) = e − x − sin x f ( 0 ) = 1 > 0 f ( 1 ) = 1 e − sin 1 < 0 ⇒ f ( 0 ) ⋅ f ( 1 ) < 0 f ′ ( x ) = − e − x − cos x < 0 , 0 < x < 1 所以函数在 [0, 1]有唯一零点,故 [ 0 , 1 ] 是隔根区间 \begin{aligned} &\begin{aligned} \text { 令 } f(x)=e^{-x}-\sin x \quad f(0)=1>0 \\ f(1)=\frac{1}{e}-\sin 1<0 \Rightarrow f(0) \cdot f(1)<0 \\ f^{\prime}(x)=-e^{-x}-\cos x<0,0
设 lim n → ∞ x n = x ∗ \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x^{*} limn→∞xn=x∗, 若存在 a > 0 , r > 0 \mathrm{a}>0, \mathrm{r}>0 a>0,r>0 使得 lim n → ∞ ∣ x n + 1 − x ∗ ∣ ∣ x n − x ∗ ∣ r = a \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left|x_{n+1}-x^{*}\right|}{\left|x_{n}-x^{*}\right|^{r}}=a limn→∞∣xn−x∗∣r∣xn+1−x∗∣=a, 则称数列 { x n } r \{\mathrm{xn}\} \mathrm{r} {xn}r阶收敛
特别地 :
(1)收敛阶 r = 1 r=1 r=1 时, 称为线性收敛;
(2) 收敛阶 r > 1 r>1 r>1 时, 称为超收敛;
(3) 收敛阶 r = 2 r=2 r=2 时, 称为平方收敛;
收敛阶数越高, 收敛速度越快
设 f ( x ) \mathrm{f}(\mathrm{x}) f(x) 在点 x \mathrm{x} x *的某邻域内具有二阶连续导数, 且设 f ( x ∗ ) = 0 \mathrm{f}(\mathrm{x} *)=0 f(x∗)=0,
f ′ ( x ∗ ) ≠ 0 f^{\prime}\left(x^{*}\right) \neq 0 f′(x∗)=0, 则对充分靠近点 x ∗ x^{*} x∗ 的初值 x 0 x 0 x0, 牛顿迭代法至少平方收敛
x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) x_{n+1}=x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)} xn+1=xn−f′(xn)f(xn)
φ ( x ) = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) φ ′ ( x ) = f ( x ∗ ) f ′ ′ ( x ∗ ) [ f ′ ( x ) ] 2 = 0 \varphi(x)=x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)} \quad \varphi^{\prime}(x)=\frac{f\left(x^{*}\right) f^{\prime \prime}\left(x^{*}\right)}{\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}}=0 φ(x)=xn−f′(xn)f(xn)φ′(x)=[f′(x)]2f(x∗)f′′(x∗)=0
φ ′ ′ ( x ∗ ) = f ′ ′ ( x ∗ ) f ′ ( x ∗ ) \varphi^{\prime \prime}\left(x^{*}\right)=\frac{f^{\prime \prime}\left(x^{*}\right)}{f^{\prime}\left(x^{*}\right)} φ′′(x∗)=f′(x∗)f′′(x∗)
所以,牛顿迭代法至少二阶收敛。
牛顿迭代法是单步迭代,产生一个数列逐次逼近位于初值附近的方程的根,每一次迭代要涉及到一个函数值和一个导数值的计算,它的几何背景是用曲线上的某一点处的切线与X轴交点的坐标值产生下一个根的近似值。牛顿迭代法收敛速度快,具有二阶收敛速度( 一种直观解释是迭代一次,有效数位数增加一倍),但它是一种局部收敛的方法。理论基础是如下的泰勒中值定理
f ( x ) = f ( x n ) + ( x − x n ) f ′ ( x n ) + 1 2 ( x − x n ) 2 f ′ ′ ( ξ n ) \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{xn})+(\mathrm{x}-\mathrm{xn}) f^{\prime}(x n)+\frac{1}{2}(x-x n)^{2} f^{\prime \prime}(\xi n) f(x)=f(xn)+(x−xn)f′(xn)+21(x−xn)2f′′(ξn)
割线法不是单点迭代,在每一次迭代中要用前两个根的近似值计算产生第三个近似根。迭代过程中不用计算函数的导数,只需计算函数值。它的几何背景是用曲线上两个不同点联结的割线与X轴交点的坐标值产生新的根的近似值,也是一种局部收敛方法,收敛速度不如牛顿迭代法快,具有1.618阶的收敛速度( p 2 − p − 1 = 0 p^{2}-\mathrm{p}-1=0 p2−p−1=0的正根),理论基础是如下的牛顿插值公式
f ( x ) = f ( x n ) + ( x − x n ) f [ x n , x n − 1 ] + f ′ ′ ( ξ n ) 2 ( x − x n ) ( x − x n − 1 ) \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{xn})+(\mathrm{x}-\mathrm{xn}) f\left[x n, x_{n-1}\right]+\frac{f^{\prime \prime}(\xi n)}{2}(x-x n)\left(x-x_{n-1}\right) f(x)=f(xn)+(x−xn)f[xn,xn−1]+2f′′(ξn)(x−xn)(x−xn−1)
水中浮球问题可以看做一个木质球体漂浮在水中,假设木质球体半径R =10 cm,密度 ρ=0.638. 求浸入水中的深度d 是多少?
V = ∫ 0 d π ( R 2 − ( R − x ) 2 ) d x = 1 3 π d 2 ( 3 R − d ) \mathrm{V}=\int_{0}^{d} \pi\left(R^{2}-(R-x)^{2}\right) \mathrm{dx}=\frac{1}{3} \pi d^{2}(3 R-d) V=∫0dπ(R2−(R−x)2)dx=31πd2(3R−d)
根据阿基米德原理——浮力大小等于排开水的重量
4 3 π R 3 ρ = 1 3 π d 2 ( 3 R − d ) d 3 − 3 R d 2 + 4 R 3 ρ = 0 \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho=\frac{1}{3} \pi d^{2}(3 R-d) \quad d^{3}-3 R d^{2}+4 R^{3} \rho=0 34πR3ρ=31πd2(3R−d)d3−3Rd2+4R3ρ=0
代入d和ρ即可求得d