数值分析思考题（钟尔杰版）参考解答——第二章

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1. 二分法迭代数列的误差限是如何估计的？

设$x^{\ast }$是方程f(x)=0的准确解，$x_k$是二分法产生的第k次迭代的近似解，
[a,b]是二分法开始时的隔根区间，则有$$\left|x_k-x^{\ast }\right|\le \frac{b-a}{2^{n+1}}$$

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2. 二分法区间序列[an,bn]中，两相邻区间中点距离为多少？

$$\left|x_n-x_{n-1}\right|=\left|\frac{1}{2}\left(a_n+b_n\right)-\frac{1}{2}\left(a_{n-1}+b_{n-1}\right)\right|$$

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3. 写出方程$e^{-x}-\sin x=0$正根的隔根区间。

$$\begin{array}{rl}& \begin{array}{r}\text{ 令 }f(x)=e^{-x}-\sin xf(0)=1>0\\ f(1)=\frac{1}{e}-\sin 1<0\Rightarrow f(0)\cdot f(1)<0\\ f^{\prime }(x)=-e^{-x}-\cos x<0,0<x<1\end{array}\\ & \text{ 所以函数在 [0, 1]有唯一零点，故 }[0,1]\text{ 是隔根区间 }\end{array}$$

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4. 何谓不动点迭代？不动点与方程的根有何区别？

1. 设方程 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=0$ 可以转化为等价的形式 $\mathrm{x}=\mathrm{g}(\mathrm{x})$, 从某个初值 $x_0$ 出发。
   令 $x_{k+1}=g\left(x_k\right),k=0,1,2,3,\dots (\ast )$
   得到序列 $\left\{x_k\right\}$, 当 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 连续，且 $\left\{x_k\right\}$ 收敛于 $\alpha$ 时有,
   ${\lim }_{k\to \infty }{x}_{k+1}={\lim }_{k\to \infty }g\left(x_k\right)=\mathrm{g}\left({\lim }_{k\to \infty }{x}_k\right)$, 即有 $\alpha =g(\alpha )$, 所以 $\alpha$ 是方程 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=0$ 的根，称上述函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 为迭代函数，称 $\alpha$ 是它的一个不动点，构造迭代公式 $(\ast )$ 的方法称为不动点迭代法。
2. 方程的根是孤立的，彼此没有联系，而不动点之间可以迭代产生，彼此
   有联系。

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5. 不动点迭代收敛速度的阶是什么意思？

设 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=x^{\ast }$, 若存在 $\mathrm{a}>0,\mathrm{r}>0$ 使得 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{|x_{n+1}-x^{\ast }|}{{|x_n-x^{\ast }|}^r}=a$, 则称数列 $\{\mathrm{x}\mathrm{n}\}\mathrm{r}$阶收敛
特别地 :
（1）收敛阶 $r=1$ 时, 称为线性收敛;
（2） 收敛阶 $r>1$ 时, 称为超收敛;
（3） 收敛阶 $r=2$ 时, 称为平方收敛；
收敛阶数越高, 收敛速度越快

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6.牛顿迭代法的2阶收敛速度如何解释？

设 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在点 $\mathrm{x}$ *的某邻域内具有二阶连续导数, 且设 $\mathrm{f}(\mathrm{x}\ast )=0$,
$f^{\prime }\left(x^{\ast }\right)\ne 0$, 则对充分靠近点 $x^{\ast }$ 的初值 $x0$, 牛顿迭代法至少平方收敛
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime }\left(x_n\right)}$$
$$\phi (x)=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f^{\prime }\left(x_n\right)}{\phi }^{\prime }(x)=\frac{f\left(x^{\ast }\right)f^{\prime \prime }\left(x^{\ast }\right)}{{\left[f^{\prime }(x)\right]}^2}=0$$
$${\phi }^{\prime \prime }\left(x^{\ast }\right)=\frac{f^{\prime \prime }\left(x^{\ast }\right)}{f^{\prime }\left(x^{\ast }\right)}$$
所以，牛顿迭代法至少二阶收敛。

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7. 牛顿迭代法和割线法有何区别？

牛顿迭代法是单步迭代，产生一个数列逐次逼近位于初值附近的方程的根，每一次迭代要涉及到一个函数值和一个导数值的计算，它的几何背景是用曲线上的某一点处的切线与X轴交点的坐标值产生下一个根的近似值。牛顿迭代法收敛速度快，具有二阶收敛速度（ 一种直观解释是迭代一次，有效数位数增加一倍），但它是一种局部收敛的方法。理论基础是如下的泰勒中值定理
$$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x}\mathrm{n})+(\mathrm{x}-\mathrm{x}\mathrm{n})f^{\prime }(xn)+\frac{1}{2}(x-xn{)}^2{f}^{\prime \prime }(\xi n)$$
割线法不是单点迭代，在每一次迭代中要用前两个根的近似值计算产生第三个近似根。迭代过程中不用计算函数的导数，只需计算函数值。它的几何背景是用曲线上两个不同点联结的割线与X轴交点的坐标值产生新的根的近似值，也是一种局部收敛方法，收敛速度不如牛顿迭代法快，具有1.618阶的收敛速度（$p^2-\mathrm{p}-1=0$的正根），理论基础是如下的牛顿插值公式
$$\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x}\mathrm{n})+(\mathrm{x}-\mathrm{x}\mathrm{n})f\left[xn,x_{n-1}\right]+\frac{f^{\prime \prime }(\xi n)}{2}(x-xn)\left(x-x_{n-1}\right)$$

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8. 叙述水中浮球问题，并写出数学模型。

水中浮球问题可以看做一个木质球体漂浮在水中，假设木质球体半径R =10 cm,密度 ρ=0.638. 求浸入水中的深度d 是多少？
$$\mathrm{V}={\int }_0^d\pi \left(R^2-(R-x{)}^2\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=\frac{1}{3}\pi d^2(3R-d)$$
根据阿基米德原理——浮力大小等于排开水的重量
$$\frac{4}{3}\pi R^3\rho =\frac{1}{3}\pi d^2(3R-d)d^3-3R{d}^2+4R^3\rho =0$$
代入d和ρ即可求得d