[从Minecraft学游戏开发]前置知识 - 数学

---

声明：本教程的图像，资源，代码仅供学习参考使用，禁止以任何形式发布。如有违反代码提供者(本人)不付任何责任。
项目开源地址 https://github.com/OrbitGW/MYCRAFT

---

---

前置知识 - 数学

此部分是针对高中以下学历的

---

向量(vector)

向量最基本的定义就是一个方向。或者更正式的说，向量有一个方向(Direction)和大小(Magnitude，也叫做强度或长度)
一个长度为 $\sqrt{5}$,指向(2,1)的向量v表示为：
$$v=(2,1)$$
图像为：

---

向量运算

向量长度

三维向量$v=(x,y,z)$的长度为：
$$|v|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

单位向量

有一个特殊类型的向量叫做单位向量(Unit Vector) $n$。单位向量有一个特别的性质:它的长度是1:
$$n=\frac{v}{|v|}$$

向量与标量运算

$$v+a=(x+a,y+a,z+a)$$
$$v\cdot a=(x\ast a,y\ast a,z\ast a)$$

向量取反

若$v=(x,y,z)$则：
$$-v=(-x,-y,-z)$$

向量加减

若$v=(x_1,y_1),u=(x_2,y_2),$则：
$$v+u=(x_1+x_2,y_1+y_2)$$

$$v-u=(x_1-x_2,y_1-y_2)$$
比如$v=(2,1),u=(1,3),w=v+u=(3,4)$,其图像为

$v=(2,1),u=(1,3),w=v-u=(1,-2)$,其图像为

Attention：指向是末到出

向量相乘

两个向量相乘是一种很奇怪的情况。普通的乘法在向量上是没有定义的，因为它在视觉上是没有意义的。但是在相乘的时候我们有两种特定情况可以选择：一个是点乘(Dot Product)，记作$v\cdot u$，另一个是叉乘(Cross Product)，记作$v\times u$。

点乘

$$v\cdot u=|v|\cdot |u|\cdot cos\theta$$
$$cos\theta =\frac{v\cdot u}{|v|\cdot |u|}$$

叉乘

叉乘只在3D空间中有定义，它需要两个不平行向量作为输入，生成一个正交于两个输入向量的第三个向量。所以他是三位的。如果输入的两个向量也是正交的，那么叉乘之后将会产生3个互相正交的向量。

---

矩阵

矩阵就是一个矩形的数字、符号或表达式数组。矩阵中每一项叫做矩阵的元素(Element)。矩阵可以通过(i, j)进行索引，i是行，j是列（j列i行，也叫做矩阵的维度(Dimension)）。

矩阵的运算

矩阵的加减

$$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]+3=\left[\begin{array}{cc}1+3& 2+3\\ 3+3& 4+3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4& 5\\ 6& 7\end{array}\right]$$
$$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]-3=\left[\begin{array}{cc}1-3& 2-3\\ 3-3& 4-3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-2& -1\\ 0& 1\end{array}\right]$$

矩阵与矩阵之间的加减只对同维度的矩阵才是有定义的。一个3×2矩阵和一个2×3矩阵（或一个3×3矩阵与4×4矩阵）是不能进行加减的。
我们看看两个2×2矩阵是怎样相加的：
$$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1+5& 2+6\\ 3+7& 4+8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}6& 8\\ 10& 12\end{array}\right]$$
同样的法则也适用于减法。

矩阵的数乘

$$2\cdot \left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2\cdot 1& 2\cdot 2\\ 2\cdot 3& 2\cdot 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 6& 8\end{array}\right]$$

矩阵相乘

只有当左侧矩阵的列数与右侧矩阵的行数相等，两个矩阵才能相乘。
矩阵相乘不遵守交换律(Commutative)，也就是说$p\cdot q\ne q\cdot p$。

矩阵与向量相乘

向量，它其实就是一个N×1矩阵，N表示向量分量的个数（也叫N维(N-dimensional)向量）。向量和矩阵一样都是一个数字序列，但它只有1列。那么，这个新的定义对我们有什么帮助呢？如果我们有一个M×N矩阵，我们可以用这个矩阵乘以我们的N×1向量，因为这个矩阵的列数等于向量的行数，所以它们就能相乘。

单位矩阵

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\cdot 1\\ 1\cdot 2\\ 1\cdot 3\\ 1\cdot 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\\ 4\end{array}\right]$$