估计、偏差和方差

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前言

本系列文章为 《Deep Learning》 读书笔记，可以参看原书一起阅读，效果更佳。

估计

统计的目的是为了推断，大量的统计是为了更好的推断，这就是一种估计，一种根据现有信息对可能性的一种猜测。

• 点估计：点估计指的是用样本数据估计总体的参数，估计的结果是一个点的数值，因此叫做点估计。这个定义非常宽泛，${\hat{\theta }}_m=g(x_1,x_2,...,x_m)$，其中几乎对 g 没有什么限制，只是说比较好的 g 会接近真实的 θ。
• 函数估计：是一种映射关系，如 $y=f(x)+ϵ$，其中 ϵ 是从 x 中预测不出来的，我们不关心，我们关心的是函数估计 f，函数估计是一种从输入到输出的映射关系。

偏差

估计的偏差定义为：$bias({\hat{\theta }}_m)=E(\widehat{{\theta }_m})-\theta$，这很好理解，估计与实际值之间的距离就是偏差，如果偏差为 0，则$\hat{\theta }$是$\theta$的无偏估计，如果在 m 趋近于无穷大时，偏差趋近于 0，则$\hat{\theta }$是$\theta$的渐进无偏。

方差

上面我们用估计量的期望来计算偏差，我们还可以用估计量的方差度量估计的变化程度，我们希望期望这两个值都较小。

对于高斯分布来说，我们有：

• 样本均值 ${\hat{\mu }}_m=\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m{x}^{(i)}$ 是高斯均值参数 μ 的无偏估计;
• 样本方差 ${\hat{\sigma }}_m^2=\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m(x^{(i)}-{\hat{\mu }}_m{)}^2$ 是 ${\sigma }^2$ 的有偏估计；
• 无偏样本方差 ${\hat{\sigma }}_m^2=\frac{1}{m-1}{\sum }_{i=1}^m(x^{(i)}-{\hat{\mu }}_m{)}^2$ 是 ${\sigma }^2$ 的无偏估计；

无偏样本方差显然是比较不错的，但是并不总是最好的，有时候某一些有偏估计也是很好的。比如在机器学习中，均值标准差就非常有用：

$$SE({\hat{\mu }}_m)=\sqrt{Var[\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{x}^{(i)}]}=\frac{\sigma }{\sqrt{m}}$$

或者写成

$${\sigma }_{\overline{X}}=\sqrt{Var(\overline{X})}=\sqrt{\frac{1}{m}Var(X)}=\frac{\sigma }{\sqrt{m}}$$

均方误差（MSE）

$$MSE=E[({\hat{\theta }}_m-\theta {)}^2]=Bias({\hat{\theta }}_m{)}^2+Var({\hat{\theta }}_m)$$

鱼和熊掌不可得兼，偏差和方差度量着估计量的两个不同误差来源，偏差度量着偏离真实函数或参数的误差，方差度量着数据上任意特定采样可能导致的估计期望的偏差，两个估计，一个偏差大，一个方差大，怎么选择？选择 MSE 较小的，因为 MSE 是用来度量泛化误差的。偏差和方差之和就是均方误差：

总结

本篇主要介绍了估计、偏差和方差，可以用来正式的刻画过拟合。

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