决策树算法原理
简介
决策树是一种基本的分类与回归方法。
决策树模型的主要知识有三部分：决策树生成算法、特征选择、剪枝。
决策树生成算法
决策树算法如下：
关键在于第8步，如何选择最优的划分属性。叶子节点的类别（即最终预测的类别值），都标记为叶子节点数据集中类别最多的一类。
特征选择
从众多特征中选择某个特征作为当前节点的标准。常用的选择标准：信息增益、信息增益率、Gini指数。采用不同的评估标准对应不同的决策树算法。
ID3：特征划分基于信息增益
C4.5：特征划分基于信息增益率
CART：特征划分基于基尼指数
相关基础概念
信息熵：描述不确定事件的不确定程度，度量随机变量不确定度。随机变量某个基本事件的概率越大，该随机变量的不确定度越低，信息熵越小。不确定度越高，包含的“信息量”越多，信息熵越高。
假定骰子A和B，掷A正反面的概率：（1/2，1/2），掷B正反面的概率：（4/5，1/5）。直观看，掷A的结果的不确定性更大，因此信息熵越高。而B的大部分可能都是正面，因此不确定性小，信息熵小。
信息熵公式：
Pk表示的是：当前样本集合D中第k类样本所占的比例。|y|表示结果的种类。
纯度：描述数据集里数据的相似程度，数据集里信息大都是相同的，就是纯度高。数据集里包含的信息很多很杂，就是纯度低。
信息熵与纯度： 信息熵越低，纯度越高。如果样本的属性都是一样的，就会让人觉得这包含的信息很单一，没有差异化，即纯度高；相反样本的属性都不一样，那么包含的信息量就很多，即纯度低。
特征选择方法
信息增益法（ID3算法）
信息增益 = 数据集划分前的信息熵—划分后各子集的信息熵之和
信息增益计算公式：
Gain(D,a)：以属性a划分数据集时的信息增益。
Ent(D)：不划分时总数据集的信息熵。
Dv：属性a取不同值时的数据子集
Ent(Dv)：不同数据子集的信息熵。
在进行特征选择时，选择信息增益最大的特征作为当前节点。
缺点：倾向于取值较多的属性。
例如西瓜数据集中的编号属性，一条数据一个取值，取值多，熵低。而总数据集的信息熵Ent(D)是固定的，若公式后面的各子集信息熵之和小的话，就会造成差值大，即信息增益大。若是用信息增益作为选择标准，则编号就会被作为划分节点。
信息增益率法（C4.5算法）
为了解决信息增益的问题，引入一个信息增益率：
属性a的可能取值数目越多(即V越大)，则IV(a)的值通常就越大。IV(a)相当于在计算以a为划分属性时的各取值的子集的熵的和。取值越多则熵越大，加上倒数之后，就会越小。因此取值多的特征乘以的系数小，取值少的特征乘以的系数大。这个系数相当于一个惩罚参数。
缺点：信息增益比偏向取值较少的特征。
基于以上缺点，C4.5算法并不是直接选择信息增益率最大的特征，而是先在候选特征中找出信息增益高于平均水平的特征，然后在这些特征中再选择信息增益率最高的特征。
基尼指数法（ CART算法）
用基尼指数划分特征。数据集D的基尼值公式：
Gini(D)反映了从数据集D中随机抽取两个样本类别不一致的概率。Gini(D)越小，数据集D的纯度越高。
属性a的基尼指数公式：
在选择最优划分属性时，选择那个使得划分后各数据子集基尼指数之和最小的属性。和最小，则各数据子集越纯。
三种不同的算法对比
ID3：取值多的属性，更容易使数据更纯，其信息增益更大。
训练得到的是一棵庞大且深度浅的树：不合理。
C4.5：采用信息增益率替代信息增益。
CART：以基尼系数替代熵，最小化不纯度，而不是最大化信息增益。
详见决策树中的ID3, C4.5, CART算法及其优缺点，写得很棒！
ID3算法详解
解释：在整体数据集上计算根节点处信息熵，然后依次计算各个属性划分的数据子集的信息熵，用根节点信息熵–某属性节点的信息熵=信息增益，根据信息增益进行降序排列，排在前面的就是第一个划分属性，其后依次类推，这就得到了决策树的形状，也就是怎么“长”了。
即：信息量大的节点先排在前面，各节点先后顺序根据信息增益排序。
详细计算示例如下：
1）先计算整体数据集根节点信息熵：
2）计算“色泽”属性的信息增益。
可以看到，D1集合里好瓜坏瓜的比例差不多，更不好确定，因此信息量越大，即信息熵越大。而D2集合里正例比反例多点，即偏向于大多数是正例，不确定性小，纯度越高，信息量越小，信息熵越低。D3集合更是大部分都是坏瓜，纯度更高，信息熵更低。
3）计算其他属性的信息增益。根据信息增益大小，确定决策树头节点为“纹理”。
4）生成其余节点。
在上一步，纹理节点将数据集划分成了三部分，在这些子数据集上做同样的操作：计算除纹理节点以外的属性的信息增益，选出信息增益最大的作为下一个节点。其他节点类推。
剪枝
解决过拟合问题。分为预剪枝和后剪枝。预剪枝常用。
参考：
周志华《机器学习》
机器学习算法（3）之决策树算法