（八）学习笔记：动手深度学习（Softmax 回归 + 损失函数 + 图片分类数据集）

1.softmax回归的理论部分

回归可以用于预测多少的问题。
比如预测房屋被售出价格，或者棒球队可能获得的胜场数，又或者患者住院的天数。

事实上，我们也对分类问题感兴趣：不是问“多少”，而是问“哪一个”：

• 某个电子邮件是否属于垃圾邮件文件夹？
• 某个用户可能注册或不注册订阅服务？
• 某个图像描绘的是驴、狗、猫、还是鸡？
• 某人接下来最有可能看哪部电影？

通常，机器学习实践者用分类这个词来描述两个有微妙差别的问题：

1. 我们只对样本的“硬性”类别感兴趣，即属于哪个类别；
2. 我们希望得到“软性”类别，即得到属于每个类别的概率。
   这两者的界限往往很模糊。其中的一个原因是：即使我们只关心硬类别，我们仍然使用软类别的模型。

1.1 分类问题

我们从一个图像分类问题开始。假设每次输入是一个$2\times 2$的灰度图像。
我们可以用一个标量表示每个像素值，每个图像对应四个特征$x_1,x_2,x_3,x_4$。
此外，假设每个图像属于类别“猫”，“鸡”和“狗”中的一个。
我们有两个明显的选择：最直接的想法是选择$y\in \{1,2,3\}$，其中整数分别代表$\{\text{狗},\text{猫},\text{鸡}\}$。

一种表示分类数据的简单方法：独热编码（one-hot encoding）。类别对应的分量设置为1，其他所有分量设置为0。
在我们的例子中，标签$y$将是一个三维向量，其中$(1,0,0)$对应于“猫”、$(0,1,0)$对应于“鸡”、$(0,0,1)$对应于“狗”：

$$y\in \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}.$$

1.2 网络架构

为了估计所有可能类别的条件概率，我们需要一个有多个输出的模型，每个类别对应一个输出。
为了解决线性模型的分类问题，我们需要和输出一样多的仿射函数（affine function）。
每个输出对应于它自己的仿射函数。
在我们的例子中，由于我们有4个特征和3个可能的输出类别，我们将需要12个标量来表示权重（带下标的$w$），3个标量来表示偏置（带下标的$b$）。
下面我们为每个输入计算三个未规范化的预测（logit）：$o_1$、$o_2$和$o_3$。

$$\begin{array}{rl}{o}_1& =x_1{w}_{11}+x_2{w}_{12}+x_3{w}_{13}+x_4{w}_{14}+b_1,\\ o_2& =x_1{w}_{21}+x_2{w}_{22}+x_3{w}_{23}+x_4{w}_{24}+b_2,\\ o_3& =x_1{w}_{31}+x_2{w}_{32}+x_3{w}_{33}+x_4{w}_{34}+b_3.\end{array}$$

我们可以用神经网络图来描述这个计算过程。与线性回归一样，softmax回归也是一个单层神经网络。
由于计算每个输出$o_1$、$o_2$和$o_3$取决于所有输入$x_1$、$x_2$、$x_3$和$x_4$，所以softmax回归的输出层也是全连接层。

通过向量形式表达为$\mathbf{o}=\mathbf{W}\mathbf{x}+\mathbf{b}$，
这是一种更适合数学和编写代码的形式。
由此，我们已经将所有权重放到一个$3\times 4$矩阵中。
对于给定数据样本的特征$\mathbf{x}$，我们的输出是由权重与输入特征进行矩阵-向量乘法再加上偏置$\mathbf{b}$得到的。

1.3 全连接层的参数开销

在深度学习中，全连接层无处不在。然而，顾名思义，全连接层是“完全”连接的，可能有很多可学习的参数。
具体来说，对于任何具有$d$个输入和$q$个输出的全连接层，参数开销为$\mathcal{O}(dq)$，这个数字在实践中可能高得令人望而却步。
幸运的是，将$d$个输入转换为$q$个输出的成本可以减少到$\mathcal{O}(\frac{dq}{n})$，其中超参数$n$可以由我们灵活指定，以在实际应用中平衡参数节约和模型有效性

1.4 softmax运算

现在我们将优化参数以最大化观测数据的概率。
为了得到预测结果，我们将设置一个阈值，如选择具有最大概率的标签。

我们希望模型的输出${\hat{y}}_j$可以视为属于类$j$的概率，
然后选择具有最大输出值的类别$*{argmax}_j{y}_j$作为我们的预测。
例如，如果${\hat{y}}_1$、${\hat{y}}_2$和${\hat{y}}_3$分别为0.1、0.8和0.1，
那么我们预测的类别是2，在我们的例子中代表“鸡”。

然而我妈能否将未规范化的预测$o$直接视作我们感兴趣的输出呢？答案是否定的。
因为将线性层的输出直接视为概率时存在一些问题：
一方面，我们没有限制这些输出数字的总和为1。
另一方面，根据输入的不同，它们可以为负值。

要将输出视为概率，我们必须保证在任何数据上的输出都是非负的且总和为1。
此外，我们需要一个训练目标，来鼓励模型精准地估计概率。
在分类器输出0.5的所有样本中，我们希望这些样本有一半实际上属于预测的类。
这个属性叫做校准（calibration）。

社会科学家邓肯·卢斯于1959年在选择模型（choice model）的理论基础上
发明的softmax函数正是这样做的：
softmax函数将未规范化的预测变换为非负并且总和为1，同时要求模型保持可导。
我们首先对每个未规范化的预测求幂，这样可以确保输出非负。
为了确保最终输出的总和为1，我们再对每个求幂后的结果除以它们的总和。如下式：

$$\hat{\mathbf{y}}=\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{t}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(\mathbf{o})\text{其中}{\hat{y}}_j=\frac{\exp (o_j)}{{\sum }_k\exp (o_k)}$$

这里，对于所有的$j$总有$0\le {\hat{y}}_j\le 1$。
因此，$\hat{\mathbf{y}}$可以视为一个正确的概率分布。
softmax运算不会改变未规范化的预测$\mathbf{o}$之间的顺序，只会确定分配给每个类别的概率。
因此，在预测过程中，我们仍然可以用下式来选择最有可能的类别。

$$*{argmax}_j{\hat{y}}_j=*{argmax}_j{o}_j.$$

尽管softmax是一个非线性函数，但softmax回归的输出仍然由输入特征的仿射变换决定。
因此，softmax回归是一个线性模型（linear model）。

1.5 小批量样本的矢量化

为了提高计算效率并且充分利用GPU，我们通常会针对小批量数据执行矢量计算。
假设我们读取了一个批量的样本$\mathbf{X}$，其中特征维度（输入数量）为$d$，批量大小为$n$。
此外，假设我们在输出中有$q$个类别。
那么小批量特征为$\mathbf{X}\in {\mathbb{R}}^{n\times d}$，权重为$\mathbf{W}\in {\mathbb{R}}^{d\times q}$，偏置为$\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^{1\times q}$。
softmax回归的矢量计算表达式为：

$$\begin{array}{rl}\mathbf{O}& =\mathbf{X}\mathbf{W}+\mathbf{b},\\ \hat{\mathbf{Y}}& =\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{t}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(\mathbf{O}).\end{array}$$

相对于一次处理一个样本，小批量样本的矢量化加快了$\mathbf{X}和\mathbf{W}$的矩阵-向量乘法。
由于$\mathbf{X}$中的每一行代表一个数据样本，那么softmax运算可以按行（rowwise）执行：
对于$\mathbf{O}$的每一行，我们先对所有项进行幂运算，然后通过求和对它们进行标准化。
$\mathbf{X}\mathbf{W}+\mathbf{b}$的求和会使用广播，小批量的未规范化预测$\mathbf{O}$和输出概率$\hat{\mathbf{Y}}$都是形状为$n\times q$的矩阵。

1.6 损失函数

我们将使用最大似然估计，这与在线性回归中的方法相同。可以参考：softmax回归原理与实现进行理解。

1.6.1 对数似然

softmax函数给出了一个向量$\hat{\mathbf{y}}$，我们可以将其视为“对给定任意输入$\mathbf{x}$的每个类的条件概率”。
例如，${\hat{y}}_1$=$P(y=\text{猫}\mid \mathbf{x})$。
假设整个数据集$\{\mathbf{X},\mathbf{Y}\}$具有$n$个样本，
其中索引$i$的样本由特征向量${\mathbf{x}}^{(i)}$和独热标签向量${\mathbf{y}}^{(i)}$组成。
我们可以将估计值与实际值进行比较：

$$P(\mathbf{Y}\mid \mathbf{X})=\prod _{i=1}^{n}P({\mathbf{y}}^{(i)}\mid {\mathbf{x}}^{(i)}).$$

根据最大似然估计，我们最大化$P(\mathbf{Y}\mid \mathbf{X})$，相当于最小化负对数似然：

$$-\log P(\mathbf{Y}\mid \mathbf{X})=\sum _{i=1}^n-\log P({\mathbf{y}}^{(i)}\mid {\mathbf{x}}^{(i)})=\sum _{i=1}^{n}l({\mathbf{y}}^{(i)},{\hat{\mathbf{y}}}^{(i)}),$$

其中，对于任何标签$\mathbf{y}$和模型预测$\hat{\mathbf{y}}$，损失函数为：

$$l(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})=-\sum _{j=1}^q{y}_j\log {\hat{y}}_j.$$

该损失函数通常被称为交叉熵损失（cross-entropy loss），用来衡量两个概率之间的区别。
由于$\mathbf{y}$是一个长度为$q$的独热编码向量，所以除了一个项以外的所有项$j$都消失了。
由于所有${\hat{y}}_j$都是预测的概率，所以它们的对数永远不会大于$0$。
因此，如果正确地预测实际标签，即如果实际标签$P(\mathbf{y}\mid \mathbf{x})=1$，
则损失函数不能进一步最小化。
注意，这往往是不可能的。
例如，数据集中可能存在标签噪声（比如某些样本可能被误标），或输入特征没有足够的信息来完美地对每一个样本分类。

1.6.2 softmax及其导数

利用softmax的定义，我们得到：

$$\begin{array}{rl}l(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})& =-\sum _{j=1}^q{y}_j\log \frac{\exp (o_j)}{{\sum }_{k=1}^q\exp (o_k)}\\ & =\sum _{j=1}^q{y}_j\log \sum _{k=1}^q\exp (o_k)-\sum _{j=1}^q{y}_j{o}_j\\ & =\log \sum _{k=1}^q\exp (o_k)-\sum _{j=1}^q{y}_j{o}_j.\end{array}$$

考虑相对于任何未规范化的预测$o_j$的导数，我们得到：

$${\partial }_{o_j}l(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})=\frac{\exp (o_j)}{{\sum }_{k=1}^q\exp (o_k)}-y_j=\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{t}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(\mathbf{o}{)}_j-y_j.$$

换句话说，导数是我们softmax模型分配的概率与实际发生的情况（由独热标签向量表示）之间的差异。
从这个意义上讲，这与我们在回归中看到的非常相似，
其中梯度是观测值$y$和估计值$\hat{y}$之间的差异。

1.6.3 交叉熵损失

我们观察到的不仅仅是一个结果，而是整个结果分布。对于标签$\mathbf{y}$，我们可以使用与以前相同的表示形式。
唯一的区别是，我们现在用一个概率向量表示，如$(0.1,0.2,0.7)$，而不是仅包含二元项的向量$(0,0,1)$。
我们使用交叉熵来定义损失$l$，它是所有标签分布的预期损失值。
此损失称为交叉熵损失（cross-entropy loss），它是分类问题最常用的损失之一。

1.7 信息论基础

信息论（information theory）涉及编码、解码、发送以及尽可能简洁地处理信息或数据。

1.7.1 熵

信息论的核心思想是量化数据中的信息内容。
在信息论中，该数值被称为分布$P$的熵（entropy）。可以通过以下方程得到：
$$H[P]=\sum _j-P(j)\log P(j).$$
信息论的基本定理之一指出，为了对从分布$p$中随机抽取的数据进行编码，我们至少需要$H[P]$“纳特（nat）”对其进行编码。
“纳特”相当于比特（bit），但是对数底为$e$而不是2。因此，一个纳特是$\frac{1}{\log (2)}\approx 1.44$比特。

1.7.2 惊异

压缩与预测有什么关系呢？
想象一下，我们有一个要压缩的数据流。如果我们很容易预测下一个数据，那么这个数据很容易压缩。
为什么呢？
举一个极端的例子，假如数据流中的每个数据完全相同，这会是一个非常无聊的数据流。由于它们总是相同的，所以很容易被预测。所以，为了传递数据流的内容，我们不必传输任何信息。因此，当数据易于预测，也就易于压缩。

但是，如果我们不能完全预测每一个事件，那么我们有时可能会感到"惊异"。
克劳德·香农决定用$\log \frac{1}{P(j)}=-\log P(j)$来量化惊异（surprisal）。
在观察一个事件$j$，并赋予它（主观）概率$P(j)$。
当我们赋予一个事件较低的概率时，我们的惊异会更大。
在 交叉熵损失函数中定义的熵，是当分配的概率真正匹配数据生成过程时的预期惊异（expected surprisal）。

1.7.3 重新审视交叉熵

如果把熵$H(P)$想象为“知道真实概率的人所经历的惊异程度”，那么什么是交叉熵？
交叉熵从$P$到$Q$，记为$H(P,Q)$。
你可以把交叉熵想象为“主观概率为$Q$的观察者在看到根据概率$P$生成的数据时的预期惊异”。
当$P=Q$时，交叉熵达到最低。
在这种情况下，从$P$到$Q$的交叉熵是$H(P,P)=H(P)$。

简而言之，我们可以从两方面来考虑交叉熵分类目标：
（i）最大化观测数据的似然；（ii）最小化传达标签所需的惊异。

1.8 模型预测和评估

在训练softmax回归模型后，给出任何样本特征，我们可以预测每个输出类别的概率。
通常我们使用预测概率最高的类别作为输出类别。如果预测与实际类别（标签）一致，则预测是正确的。
我们使用精度（accuracy）来评估模型的性能。精度等于正确预测数与预测总数之间的比率。

1.9 小结

• softmax运算获取一个向量并将其映射为概率。
• softmax回归适用于分类问题，它使用了softmax运算中输出类别的概率分布。
• 交叉熵是一个衡量两个概率分布之间差异的很好的度量，它测量给定模型编码数据所需的比特数。

2. softmax回归的从零开始实现

import torch
from IPython import display
import d2l
batch_size = 256#置数据迭代器的批量大小为256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)#训练集和测试集的迭代器

2.1 初始化模型参数

原始数据集中的每个样本都是$28\times 28$的图像。[展平每个图像，把它们看作长度为784的向量。]每个像素位置看作一个特征。
(因为我们的数据集有10个类别，所以网络输出维度为10)。
因此，权重将构成一个$784\times 10$的矩阵，偏置将构成一个$1\times 10$的行向量。
使用正态分布初始化我们的权重W，偏置初始化为0。

num_inputs = 784
num_outputs = 10

W = torch.normal(0, 0.01, size=(num_inputs, num_outputs), requires_grad=True)#权重按正态分布初始化为一个784×10的矩阵
b = torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True)#偏置初始化为1×10 的全零行向量

2.2 定义softmax操作

[实现softmax]由三个步骤组成：

1. 对每个项求幂（使用exp）；
2. 对每一行求和（小批量中每个样本是一行），得到每个样本的规范化常数；
3. 将每一行除以其规范化常数，确保结果的和为1。

在查看代码之前，我们回顾一下这个表达式：

(**
$$\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{t}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(\mathbf{X}{)}_{ij}=\frac{\exp ({\mathbf{X}}_{ij})}{{\sum }_k\exp ({\mathbf{X}}_{ik})}.$$
**)

分母或规范化常数，有时也称为配分函数（其对数称为对数-配分函数）。
该名称的来自统计物理学中一个模拟粒子群分布的方程。

def softmax(X):
    X_exp = torch.exp(X)
    partition = X_exp.sum(1, keepdim=True)
    return X_exp / partition  # 这里应用了广播机制

注意，虽然这在数学上看起来是正确的，但我们在代码实现中有点草率。矩阵中的非常大或非常小的元素可能造成数值上溢或下溢，但我们没有采取措施来防止这点。

2.3 定义模型

定义softmax操作后，我们可以[实现softmax回归模型]。
下面的代码定义了输入如何通过网络映射到输出。
注意，将数据传递到模型之前，我们使用reshape函数将每张原始图像展平为向量。

def net(X):
    #返回XW+b
    return softmax(torch.matmul(X.reshape((-1, W.shape[0])), W) + b)#X变为256×784的矩阵

2.4 定义损失函数

[创建一个数据样本y_hat，其中包含2个样本在3个类别的预测概率，
以及它们对应的标签y。]
有了y，我们知道在第一个样本中，第一类是正确的预测；
而在第二个样本中，第三类是正确的预测。
然后(使用y作为y_hat中概率的索引)，我们选择第一个样本中第一个类的概率和第二个样本中第三个类的概率。

y = torch.tensor([0, 2])#2个样本所属的真实类别
y_hat = torch.tensor([[0.1, 0.3, 0.6], [0.3, 0.2, 0.5]])#2个样本在3个类别的预测概率
y_hat[[0,1],y]#获得两个样本预测正确的概率

tensor([0.1000, 0.5000])

[实现交叉熵损失函数]

def cross_entropy(y_hat, y):
    return - torch.log(y_hat[range(len(y_hat)), y])

cross_entropy(y_hat, y)

tensor([2.3026, 0.6931])

2.5 分类精度

[将预测类别与真实y元素进行比较]

def accuracy(y_hat, y):  #@save
    """计算预测正确的数量。"""
    if len(y_hat.shape) > 1 and y_hat.shape[1] > 1:
        y_hat = y_hat.argmax(axis=1)
    cmp = y_hat.type(y.dtype) == y
    return float(cmp.type(y.dtype).sum())

我们将继续使用之前定义的变量y_hat和y分别作为预测的概率分布和标签。
第一个样本的预测类别是2（该行的最大元素为0.6，索引为2），这与实际标签0不一致。
第二个样本的预测类别是2（该行的最大元素为0.5，索引为2），这与实际标签2一致。
因此，这两个样本的分类精度率为0.5。

accuracy(y_hat, y) / len(y)   #0.5

同样，对于任意数据迭代器data_iter可访问的数据集，[我们可以评估在任意模型net的精度]。

def evaluate_accuracy(net, data_iter):  #@save
    """计算在指定数据集上模型的精度。"""
    if isinstance(net, torch.nn.Module):
        net.eval()  # 将模型设置为评估模式
    metric = Accumulator(2)  # 正确预测数、预测总数
    with torch.no_grad():
        for X, y in data_iter:
            metric.add(accuracy(net(X), y), y.numel())
    return metric[0] / metric[1]#分类正确的样本数/总样本数

这里定义一个实用程序类Accumulator，用于对多个变量进行累加。
在上面的evaluate_accuracy函数中，我们在(Accumulator实例中创建了2个变量，分别用于存储正确预测的数量和预测的总数量)。当我们遍历数据集时，两者都将随着时间的推移而累加。

class Accumulator:  #@save
    """在`n`个变量上累加。"""
    def __init__(self, n):
        self.data = [0.0] * n

    def add(self, *args):
        self.data = [a + float(b) for a, b in zip(self.data, args)]

    def reset(self):
        self.data = [0.0] * len(self.data)

    def __getitem__(self, idx):
        return self.data[idx]

由于我们使用随机权重初始化net模型，因此该模型的精度应接近于随机猜测。例如在有10个类别情况下的精度为0.1。

evaluate_accuracy(net, test_iter) #0.1019

2.6 训练

[softmax回归的训练]
首先，我们定义一个函数来训练一个迭代周期。
updater是更新模型参数的常用函数，它接受批量大小作为参数。
它可以是d2l.sgd函数，也可以是框架的内置优化函数。

def train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater):  #@save
    """训练模型一个迭代周期（定义见第3章）。"""
    # 将模型设置为训练模式
    if isinstance(net, torch.nn.Module):
        net.train()
    # 训练损失总和、训练准确度总和、样本数
    metric = Accumulator(3)#利用长度为3的迭代器累加我们的信息
    for X, y in train_iter:
        # 计算梯度并更新参数
        y_hat = net(X)
        l = loss(y_hat, y)
        if isinstance(updater, torch.optim.Optimizer):
            # 使用PyTorch内置的优化器和损失函数
            updater.zero_grad()
            l.backward()
            updater.step()#updater是更新模型参数的常用函数，它接受批量大小作为参数。 它可以是d2l.sgd函数，也可以是框架的内置优化函数
            metric.add(float(l) * len(y), accuracy(y_hat, y),
                       y.size().numel())
        else:
            # 使用定制的优化器和损失函数
            l.sum().backward()
            updater(X.shape[0])
            metric.add(float(l.sum()), accuracy(y_hat, y), y.numel())
    # 返回训练损失和训练精度
    return metric[0] / metric[2], metric[1] / metric[2]

在展示训练函数的实现之前，我们[定义一个在动画中绘制数据的实用程序类]Animator，

class Animator:  #@save
    """在动画中绘制数据。"""
    def __init__(self, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
                 ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
                 fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), nrows=1, ncols=1,
                 figsize=(3.5, 2.5)):
        # 增量地绘制多条线
        if legend is None:
            legend = []
        d2l.use_svg_display()
        self.fig, self.axes = d2l.plt.subplots(nrows, ncols, figsize=figsize)
        if nrows * ncols == 1:
            self.axes = [self.axes, ]
        # 使用lambda函数捕获参数
        self.config_axes = lambda: d2l.set_axes(
            self.axes[0], xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)
        self.X, self.Y, self.fmts = None, None, fmts

    def add(self, x, y):
        # 向图表中添加多个数据点
        if not hasattr(y, "__len__"):
            y = [y]
        n = len(y)
        if not hasattr(x, "__len__"):
            x = [x] * n
        if not self.X:
            self.X = [[] for _ in range(n)]
        if not self.Y:
            self.Y = [[] for _ in range(n)]
        for i, (a, b) in enumerate(zip(x, y)):
            if a is not None and b is not None:
                self.X[i].append(a)
                self.Y[i].append(b)
        self.axes[0].cla()
        for x, y, fmt in zip(self.X, self.Y, self.fmts):
            self.axes[0].plot(x, y, fmt)
        self.config_axes()
        display.display(self.fig)
        display.clear_output(wait=True)

接下来我们实现一个[训练函数]，
它会在train_iter访问到的训练数据集上训练一个模型net。
该训练函数将会运行多个迭代周期（由num_epochs指定）。
在每个迭代周期结束时，利用test_iter访问到的测试数据集对模型进行评估。
我们将利用Animator类来可视化训练进度。

def train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, updater):  #@save
    """训练模型"""
    animator = Animator(xlabel='epoch', xlim=[1, num_epochs], ylim=[0.3, 0.9],
                        legend=['train loss', 'train acc', 'test acc'])#可视化
    for epoch in range(num_epochs):
        train_metrics = train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater)#训练的误差
        test_acc = evaluate_accuracy(net, test_iter)#测试的精度
        animator.add(epoch + 1, train_metrics + (test_acc,))
    train_loss, train_acc = train_metrics

[小批量随机梯度下降来优化模型的损失函数]，设置学习率为0.1。

lr = 0.1

def updater(batch_size):
    return d2l.sgd([W, b], lr, batch_size)

现在，我们[训练模型10个迭代周期]。
请注意，迭代周期（num_epochs）和学习率（lr）都是可调节的超参数。
通过更改它们的值，我们可以提高模型的分类精度。

num_epochs = 10
train_ch3(net, train_iter, test_iter, cross_entropy, num_epochs, updater)

2.7 预测

[对图像进行分类预测]。
给定一系列图像，我们将比较它们的实际标签（文本输出的第一行）和模型预测（文本输出的第二行）。

def predict_ch3(net, test_iter, n=6):  #@save
    """预测标签（定义见第3章）。"""
    for X, y in test_iter:
        break
    trues = d2l.get_fashion_mnist_labels(y)
    preds = d2l.get_fashion_mnist_labels(net(X).argmax(axis=1))
    titles = [true +'\n' + pred for true, pred in zip(trues, preds)]
    d2l.show_images(
        X[0:n].reshape((n, 28, 28)), 1, n, titles=titles[0:n])

predict_ch3(net, predict_ch3(net, test_iter))

2.8 小结

• 借助softmax回归，我们可以训练多分类的模型。
• 训练softmax回归循环模型与训练线性回归模型非常相似：先读取数据，再定义模型和损失函数，然后使用优化算法训练模型。大多数常见的深度学习模型都有类似的训练过程。

3 softmax回归的简洁实现

在前面介绍的线性回归实现中(通过深度学习框架的高级API能够使实现)，线性(回归变得更加容易)。
同样，通过深度学习框架的高级API也能更方便地实现softmax回归模型。
继续使用Fashion-MNIST数据集，并保持批量大小为256。

import torch
from torch import nn
import d2l
batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

3.1 初始化模型参数

[softmax回归的输出层是一个全连接层]。
因此，为了实现我们的模型，我们只需在Sequential中添加一个带有10个输出的全连接层。
同样，在这里Sequential并不是必要的，但它是实现深度模型的基础。
我们仍然以均值0和标准差0.01随机初始化权重。

# PyTorch不会隐式地调整输入的形状。因此，
# 我们在线性层前定义了展平层（flatten），来调整网络输入的形状
net = nn.Sequential(nn.Flatten(), nn.Linear(784, 10))

def init_weights(m):
    if type(m) == nn.Linear:
        nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)

net.apply(init_weights);

3.2 重新审视Softmax的实现

我们计算了模型的输出，然后将此输出送入交叉熵损失。
从数学上讲，这是一件完全合理的事情。
然而，从计算角度来看，指数可能会造成数值稳定性问题。

回想一下，softmax函数${\hat{y}}_j=\frac{\exp (o_j)}{{\sum }_k\exp (o_k)}$，
其中${\hat{y}}_j$是预测的概率分布。
$o_j$是未规范化的预测$\mathbf{o}$的第$j$个元素。
如果$o_k$中的一些数值非常大，
那么$\exp (o_k)$可能大于数据类型容许的最大数字，即上溢（overflow）。
这将使分母或分子变为inf（无穷大），
最后得到的是0、inf或nan（不是数字）的${\hat{y}}_j$。
在这些情况下，我们无法得到一个明确定义的交叉熵值。

解决这个问题的一个技巧是：
在继续softmax计算之前，先从所有$o_k$中减去$\max (o_k)$。
你可以看到每个$o_k$按常数进行的移动不会改变softmax的返回值：

$$\begin{array}{rl}{\hat{y}}_j& =\frac{\exp (o_j-\max (o_k))\exp (\max (o_k))}{{\sum }_k\exp (o_k-\max (o_k))\exp (\max (o_k))}\\ & =\frac{\exp (o_j-\max (o_k))}{{\sum }_k\exp (o_k-\max (o_k))}.\end{array}$$

在减法和规范化步骤之后，可能有些$o_j-\max (o_k)$具有较大的负值。
由于精度受限，$\exp (o_j-\max (o_k))$将有接近零的值，即下溢（underflow）。
这些值可能会四舍五入为零，使${\hat{y}}_j$为零，
并且使得$\log ({\hat{y}}_j)$的值为-inf。
反向传播几步后，我们可能会发现自己面对一屏幕可怕的nan结果。

尽管我们要计算指数函数，但我们最终在计算交叉熵损失时会取它们的对数。
通过将softmax和交叉熵结合在一起，可以避免反向传播过程中可能会困扰我们的数值稳定性问题。
如下面的等式所示，我们避免计算$\exp (o_j-\max (o_k))$，
而可以直接使用$o_j-\max (o_k)$，因为$\log (\exp (\cdot ))$被抵消了。

$$\begin{array}{rl}\log ({\hat{y}}_j)& =\log \left(\frac{\exp (o_j-\max (o_k))}{{\sum }_k\exp (o_k-\max (o_k))}\right)\\ & =\log (\exp (o_j-\max (o_k)))-\log \left(\sum _k\exp (o_k-\max (o_k))\right)\\ & =o_j-\max (o_k)-\log \left(\sum _k\exp (o_k-\max (o_k))\right).\end{array}$$

我们也希望保留传统的softmax函数，以备我们需要评估通过模型输出的概率。
但是，我们没有将softmax概率传递到损失函数中，而是[在交叉熵损失函数中传递未规范化的预测，并同时计算softmax及其对数]，这是一种类似"LogSumExp技巧"的聪明方式。

loss = nn.CrossEntropyLoss()

3.3 优化算法

(使用学习率为0.1的小批量随机梯度下降作为优化算法)。
这与我们在线性回归例子中的相同，这说明了优化器的普适性。

trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.1)

3.4 训练

接下来我们调用之前 (定义的训练函数来训练模型)。

num_epochs = 10
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, trainer)

3.5 预测

[对图像进行分类预测]
(定义的预测函数来预测模型)

d2l.predict_ch3(net, test_iter)

3.6 小结

• 使用深度学习框架的高级API，我们可以更简洁地实现softmax回归。
• 从计算的角度来看，实现softmax回归比较复杂。在许多情况下，深度学习框架在这些著名的技巧之外采取了额外的预防措施，来确保数值的稳定性。这使我们避免了在实践中从零开始编写模型时可能遇到的陷阱。