离散时间序列的傅里叶变换和基本性质

 

---

目录

离散时间序列的傅里叶变换和基本性质

1、由连续时间序列的傅里叶变换：

2、DTFT的一些·常用性质

（1）时移性质

（2）频移性质

3、序列的对称性(这个比较重要)

（1）实部与虚部的奇偶性

（2）序列的表示

（3）序列FT的对称性

---

---

1、由连续时间序列的傅里叶变换：

可以以此类推离散时间序列的傅里叶变换为

由于序列是离散的，所以求FT公式的时候用的累加；由于离散时间系统的FT是周期连续函数，且周期是2π(所以下面我们上下限选择的是+π)，则可以直接用连续时间系统的FT公式带入。下面对离散时间系统的x(n)公式做一下验证：

至于这个2π周期，简要写一下：

          其中M是整数

下面是一个具体实例，附加matlab代码：

n=-10:10;
x=[(n>=0)&(n<10)];
k=-200:200;
w=(pi/200)*k;
X=x*(exp(-j*pi/200)).^(n'*k);
magX=abs(X);
angX=angle(X);
subplot(4,1,1);
stem(n,x);
xlabel('n');
ylabel('x');
grid on;
subplot(4,1,2);
plot(w,X,'LineWidth',1);
xlabel('Frequency');
ylabel('X');
grid on;
subplot(4,1,3);
plot(w,magX,'LineWidth',1);
xlabel('Frequency');
ylabel('|X|');
grid on;
subplot(4,1,4);
plot(w,angX,'LineWidth',1);
xlabel('Frequency');
ylabel('ang(X)');
grid on;

 

 

2、DTFT的一些·常用性质

（1）时移性质

证明：

推导过程中使用了一步换元法：

（2）频移性质

证明：

3、序列的对称性(这个比较重要)

首先介绍两个概念：

共轭对称序列条件：  ，记做   

共轭反对称序列条件:  ，记做 

（1）实部与虚部的奇偶性

由共轭对称序列与共轭反对称序列的条件可知：

（1）若一个序列为共轭对称序列，那么

                        即实部为偶函数

                     即虚部为奇函数

（2）若一个序列是共轭反对称序列，那么

                    即实部是奇函数

                        即虚部是偶函数

（2）序列的表示

任何一个序列都可以由共轭对称序列和共轭反对称序列的和表示，即：

那么

因此，易得

（3）序列FT的对称性

首先推导三个比较重要的公式：

性质一：

序列x(n)的实部的FT具有共轭对称性；序列x(n)的具有共轭反对称性，即：

证明：

同理可得：

性质二：

序列x(n)的共轭对称部分的FT是的实部；序列x(n)的共轭反对称部分的FT是，即：

证明：

同理可得：

---