ZZZZ_Y_
ZZZZ_Y_

logistic regression

step1. function set 

 f_{w,b} (x) = P_{w,b}(C_{1}|x) 

 P_{w,b}(C_{1}|x) = \sigma (z)

z = w\cdot x + b=\sum_{i}w_{i}x_{i}+b

logistic regression_第1张图片

 

step2. goodness of a function

一大波公式来袭... 以后再编辑吧...

x^{1},x^{2},x^{3},... 的类别为C_{1},C_{1},C_{2},... 则the probability of generating the data is 

L(w,b) = f_{w,b}(x^{1})f_{w,b}(x^{2})(1-f_{w,b}(x^{3}))...f_{w,b}(x^{N})

w^{*},b^{*} = arg\, \underset {w,b}{max}L(w,b)= arg\, \underset {w,b}{min}-lnL(w,b)

-lnL(w,b) = -lnf_{w,b}(x^{1})-lnf_{w,b}(x^{2})-(1-lnf_{w,b}(x^{2}))...

\hat{y}^{n}=\left\{\begin{matrix} 1\:,\:\:\: \: \: x \:\:belongs\:\:to\:\: Class1\\ 0\:,\:\:\: \: \: x \:\:belongs\:\:to\:\: Class2 \end{matrix}\right.

-lnf_{w,b}(x^{1}) =\\ \\ -[\hat{y}^{1}lnf(x^{1})+(1-\hat{y}^{1})ln(1-f(x^{1}))]=-[1\cdot lnf(x^{1})+0\cdot ln(1-f(x^{1}))]

-lnf_{w,b}(x^{2}) =\\ \\ -[\hat{y}^{2}lnf(x^{2})+(1-\hat{y}^{2})ln(1-f(x^{2}))]=-[1\cdot lnf(x^{2})+0\cdot ln(1-f(x^{2}))]

-lnf_{w,b}(x^{3}) =\\ \\-[\hat{y}^{3}lnf(x^{3})+(1-\hat{y}^{3})ln(1-f(x^{3}))] =-[0\cdot lnf(x^{3})+1\cdot ln(1-f(x^{3}))]

-lnL(w,b) = -lnf_{w,b}(x^{1})-lnf_{w,b}(x^{2})-(1-lnf_{w,b}(x^{2}))...

-lnL(w,b)=\sum_{n}-[\hat{y}^{n}lnf(x^{n})+(1-\hat{y}^{n})ln(1-f(x^{n}))] \\\rightarrow Cross\: entropy\: between\:two \:Bernoulli\: distribution \\\rightarrow H(p,q)=-\sum_{x}p(x)ln(q(x))\:\:\: as\:the\:following\:picture\:shows

logistic regression_第2张图片

 

logistic regression_第3张图片

 step 3：Find the best function

logistic regression_第4张图片

logistic regression_第5张图片

logistic regression_第6张图片

 该项被视为输出与目标的偏差，偏差越大则update的量越大

下图为logistic regression 和linear regression 的异同

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Question:为什么不和线性回归一样用均方误差(square error)呢

logistic regression_第8张图片

logistic regression_第9张图片

 按理说离目标点越近微分值越小，离目标点越远微分值越大，则离目标点较远时步长较大，update的速度较快，离目标点较近时步长较小，update的速度较慢

若使用均方误差，则离目标很近，即 \hat{y}^{n} = 1，微分值为0；若离目标很远，即 \hat{y}^{n} = 0 ，微分值仍然为0，移动的速度将非常慢，一般选的初始值离目标都较远，则此时可能就直接卡住了，更新速度很慢，很有可能跑不出来，不容易得到好的结果

使用cross entropy 时若距离目标近，则微分值接近于0；若离目标很远，则微分值较大，update值较大

logistic regression_第10张图片

 logistic regression的称为discriminative（判别）的方法，而之前classification中使用高斯分布的方法称为generative（生成）的方法，实际上二者的model相同。logistic regression 是直接用gradient descent将w和b找出来，而若是generative，则需找出均值和协方差，从而得出w,b。

这两种方法找出的w和b不一样，因为做出的假设不同。前者未作出任何假设，后者假设概率分布是高斯分布/伯努利分布/... 

前者是联合分布概率最大，后者是条件分布概率最大，一般前者更好。

logistic regression_第11张图片

 why wrong？

朴素bayes中假设第一个feature和第二个feature是independent的，也就是说class2中第一个feature有一定几率为1，第二个feature也有一定几率为1，那么在class2中两个feature均为1的概率不为0. 而且class2占比很大，样本占比不均衡，将认为出现两个1很可能属于class2

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 softmax若为两个class的话就reduce到logistic regression了

logistic regression_第13张图片

 limitation of logistic regression 

无法解决异或问题（本质是线性模型，线性模型无法解决异或问题）

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 how to deal with the problem?

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 feature transformation可以看成是多个logistic regression相叠加的结果

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左框中的两个logistic regression用来做feature transformation，右框中的用来做classification

引入神经网络

logistic regression_第17张图片

 

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按字母分类： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ其他