高等数学——常考公式（2）

10 一元函数积分学的应用（一）——几何应用

常见的几何元素公式：

$$\begin{array}{rl}面积：S& ={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx={\int }_{\alpha }^{\beta }\frac{1}{2}|r_2^2(\theta )-r_1^2(\theta )|d\theta \\ 旋转体积：V_x& ={\int }_a^b\pi y^2(x)dx\\ V_y& ={\int }_a^b\pi x^2(y)dy={\int }_a^{b}2\pi x|y(x)|dx\\ 平均值:\overline{f}& =\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx\\ 弧长：s& ={\int }_a^b\sqrt{1+(y^{\prime }(x){)}^2}dx={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt\\ & ={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^2(\theta )+[r^{\prime }(\theta ){]}^2}d\theta \\ 旋转体侧面积（绕x轴）：S& =2\pi {\int }_a^b|y(x)|\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}dx=2\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }|y(t)|\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt\\ & =2\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }|r(\theta )\sin \theta |\sqrt{[r(\theta ){]}^2+[r^{\prime }(\theta ){]}^2}d\theta \\ 平行截面面积已知的立方体体积:V& ={\int }_a^{b}S(x)dx\end{array}$$

求下面平面曲边梯形的形心，或者是质量分布均匀的平面薄片的质心

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$$\overline{x}=\frac{{\int }_a^{b}xf(x)dx}{{\int }_a^{b}f(x)dx}$$

11 一元函数积分学的应用（二）——积分等式与积分不等式

12 一元函数积分学的应用（三）——物理应用于经济应用

物理应用：

$$\begin{array}{rl}总路程:S& ={\int }_{t_1}^{t_2}v(t)dt\\ 变力沿直线作功:W& ={\int }_a^{b}F(x)dx\\ 抽水作功:W& =\rho g{\int }_a^{b}xA(x)dx\\ 静水压力:p& ={\int }_a^b\rho gx[f(x)-h(x)]dx\\ 细杆质心:\overline{x}& =\frac{{\int }_a^{b}x\rho (x)dx}{{\int }_a^b\rho (x)dx}\end{array}$$

抽水作功：

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静水压力示意图：

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13 多元函数微分学

多元微分学的可微关系：

$$偏导连续\Rightarrow 可微\Rightarrow \{\begin{array}{ll}& 偏导存在\\ & 连续\Rightarrow 极限存在\\ & 任意方向导数存在\end{array}$$

偏导定义式：

$$f_x^{\prime }(x_0,y_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0}$$

可微性极限判别式：

点$(x_0,y_0)$处，若满足下式，则该点处函数可微：

$$\{\begin{array}{ll}& \underset{x\to 0,y\to 0}{\lim }\frac{\Delta z-f_x^{\prime }(x_0,y_0)\Delta x-f_y^{\prime }(x_0,y_0)\Delta y}{\rho }=0或\underset{x\to x_0,y\to y_0}{\lim }\frac{\Delta z-f_x^{\prime }(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y^{\prime }(x_0,y_0)(y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}}=0\\ & \rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}\\ & \Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\end{array}$$

任意方向导数存在的极限判别式：

点$(x_0,y_0)$处，若满足下式，则该点处任意方向导数存在，并极限值为该点的方向导数值：

$$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\sin \alpha )-f(x_0,y_0)}{t}$$

特别地，上述为单点定义式，计算式为：

$$f_x^{\prime }(x,y)\cos y+f_y^{\prime }(x,y)\sin y$$

复合函数求导法：

一个方程：

对于$F(x,y,z)=0$，有：

$$\begin{array}{rl}& Z_x^{\prime }=-\frac{F_x^{\prime }}{F_z^{\prime }}\\ & Z_y^{\prime }=-\frac{F_y^{\prime }}{F_z^{\prime }}\end{array}$$

方程组：

$$
\begin{aligned}
&对于\begin{cases}
&F(x,y,u,v)=0\
&F(x,y,u,v)=0\
\end{cases}
,\quad记
\left|
\begin{array}{cc}
F_u’&F_v’\
G_u’&G_v’\
\end{array}
\right|=\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,v)}=\Delta,\quad有：\

&{\kern 20pt}
\begin{cases}
&u_x’=-\frac{\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,v)}}{\Delta},\quad v_x’=-\frac{\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,x)}}{\Delta}\
&u_y’=-\frac{\frac{\partial (F,G)}{\partial (y,v)}}{\Delta},\quad v_x’=-\frac{\frac{\partial (F,G)}{\partial (u,y)}}{\Delta}\
\end{cases}
\end{aligned}
$$

求曲线绕直线的旋转曲面公式：

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-E5hDSmVv-1668578257474)(https://s3-us-west-2.amazonaws.com/secure.notion-static.com/b76231a5-b75d-457e-9a65-9065dafc51e3/Untitled.png)]

$$规定符号\{\begin{array}{ll}& 曲线\Gamma :\{\begin{array}{ll}& F(x,y,z)=0\\ & G(x,y,z)=0\end{array},直线L:\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}\\ & M_0(x_0,y_0,z_0),s=(m,n,p),\Gamma 上取点M_1(x_1,y_1,z_1)\end{array}$$

假设点$P(x,y,z)$为旋转曲面上的一点，且与$M_1$在同一纬圆上，有：

$$\begin{array}{rl}{M}_{1}P\perp s& \to (x-x_1,y-y_1,z-z_1)\cdot (m,n,p)=0\\ |M_{0}P{|}^2=|M_0{M}_1{|}^2& \to (x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2=(x_0-x_1{)}^2+(y_0-y_1{)}^2+(z_0-z_1{)}^2\\ P在\Gamma 上& \to F_{M_1}=G_{M_1}=0\end{array}$$

多元函数在$x_k=(x_k^1,x_k^2,\cdots ,x_k^n)$处的二阶泰勒展开：

$$\begin{array}{rl}f(x^1,x^2,\cdots ,x^n)=f(x_k^1,x_k^2,\cdots ,x_k^n)& +\sum _{i=1}^n(x^i-x_k^i)f_{x^i}^{\prime }(x_k^1,x_k^2,\cdots ,x_k^n)\\ & +\frac{1}{2!}\sum _{i,j=1}^n(x^i-x_k^i)(x^j-x_k^j)f_{ij}^{\prime \prime }{x}_k^1,x_k^2,\cdots ,x_k^n)+O^n\end{array}$$

特别地，二元函数的二阶泰勒展开：

$$\begin{array}{rl}f(x,y)=f(x_0,y_0)& +(x-x_0)f_x^{\prime }(x_0,y_0)+(y-y_0)f_y^{\prime }(x_0,y_0)\\ & +\frac{1}{2!}(x-x_0{)}^2{f}_{xx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)+\frac{1}{2!}(y-y_0{)}^2{f}_{yy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)\\ & +\frac{1}{2!}(x-x_0)(y-y_0)f_{xy}^{\prime \prime }(x_0,y_0)+\frac{1}{2!}(x-x_0)(y-y_0)f_{yx}^{\prime \prime }(x_0,y_0)+O({\rho }^2)\end{array}$$

其中$O({\rho }^2)=(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2$

14 二重积分

二重积分和式极限：

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}f(a+\frac{b-a}{n}i,c+\frac{d-c}{n}j)\frac{b-a}{n}\frac{d-c}{n}$$

这里的$D$指的是长方形区域$[a,b]\times [c,d]$

几何应用:

$$
\begin{aligned}
面积:S&=\iint_Dd\sigma\
柱体体积:V&=\iint\limits_{D_{xy}}|z(x,y)|d\sigma\
总质量:m&=\iint\limits_D\rho(x,y)d\sigma\
重心坐标:\overline x&=\frac{\iint\limits_Dx\rho(x,y)d\sigma}{\iint\limits_D\rho(x,y)d\sigma}\
转动惯量:
&\begin{cases}
&I_x=\iint\limits_Dy^2\rho(x,y)d\sigma,\quad I_y=\iint\limits_Dx^2\rho(x,y)d\sigma\
&I_o=\iint\limits_D(x^2+y2)\rho(x,y)d\sigma\
\end{cases}

\end{aligned}
$$

二重积分换元法：

$$\{\begin{array}{ll}& I={\int }_c^d{\int }_a^{b}f(x,y)dxdy\\ & x=x(u,v),y=y(u,v)\\ & J=\left|\begin{array}{cc}{x}_u^{\prime }& x_v^{\prime }\\ y_u^{\prime }& y_v^{\prime }\end{array}\right|\end{array}\Rightarrow I={\int }_g^h{\int }_e^{f}f(x(u,v),y(u,v))|J|dudv$$

比较多个积分面积时，若是比较相同被积函数在不同区域上的积分大小关系，有时除了着眼于被积函数在各自区域上的值，如果这些区域是包含关系，还可以着眼于在它们差值区域上的被积函数符号

15 微分方程

微分方程形式及其对应求解思路：

一阶微分方程：

1. 可分离型，$y^{\prime }=f(x)g(y)$：

   直接代入$y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$，变形后，两边分别积分，通解为：

   $$\int f(x)dx-\int \frac{dy}{g(y)}=C$$

2. 齐次型，$y^{\prime }=f(\frac{y}{x})$：

   令$u=\frac{y}{x}$，有$y=ux,y^{\prime }=u+x{u}_x^{\prime }$，代入后，通解为：

$$\int \frac{du}{f(u)-u}=\ln x+C$$

1. 可化为齐次型，$y^{\prime }=f(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{a_{2}x+b_{2}y+c_2})$：

   • $c_1=c_2=0$时：

   $$y^{\prime }=f(\frac{a_1+b_1\frac{y}{x}}{a_2+b_2\frac{y}{x}})=g(\frac{y}{x})$$

      转为了b.齐次型，可直接解出y
   

   • $\frac{a1}{a2}=\frac{b1}{b2}=\lambda$时：

     $$y^{\prime }=f(\frac{\lambda (a_{2}x+b_{2}y)+c_1}{a_{2}x+b_{2}y+c_2})=g(a_{2}x+b_{2}y)$$

     令$u=a_{2}x+b_{2}y$，有：

     $$u^{\prime }=a_2+b_{2}f(u)$$

     转为了a.可分离型，解出u后，再利用u定义式解出y

   • $a_1{b}_2\ne a_2{b}_1，且c_1，c_2不全为0$：

     求解出下面两条直线的交点$(\alpha ,\beta )$

     $$\{\begin{array}{ll}& a_{1}x+b_{1}y+c_1=0\\ & a_{2}x+b_{2}y+c_2=0\end{array}$$

     令$x=X+\alpha ,y=Y+\beta$，原方程变为：

     $$Y^{\prime }=f(\frac{a_{1}X+b_{1}Y}{a_{2}X+b_{2}Y})$$

     这就转到情况c1，再转到b齐次型，解出Y后，再通过Y定义式解出y

   1. 一阶线性微分方程，$y^{\prime }+p(x)y=q(x)$：

      有通解：

   $$y=e^{-\int p(x)dx}[\int q(x)e^{\int p(x)dx}+C]$$

   1. 全微分方程，$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$：

      PS:全微分方程的充要条件：$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0是全微分方程\iff \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$

      法一：$寻找u，使得du=u’_xdx+u’_ydy=Mdx+Ndy$11

      法二：$通解为{\int }_{x_0}^{x}M(x,y_0)dx+{\int }_{y_0}^{y}N(x_0,y)dx=c$

   2. 伯努利方程，$y^{\prime }+p(x)y=q(x)y^n，n\ne 0,1$：

      令$z=y^{1-n}$，原式变为：

      $$z_x^{\prime }+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)$$

      求得z之后，再有z定义式求y

   3. 有时x，y地位互换后，才可用这些方法

二阶微分方程：

1. 变系数，但可降为一阶：

   要求必须同时有 $y^{\prime \prime }与y^{\prime }$

$$\begin{array}{rl}& y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })\to 令y_x^{\prime }=p,y_{xx}^{\prime \prime }=p_x^{\prime }\\ & \to p_x^{\prime }=f(x,p)\\ & y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })\to 令y_x^{\prime }=p,y_{xx}^{\prime \prime }=p_y^{\prime }p\\ & \to p_y^{\prime }p=f(p,y)\end{array}$$

b. 常系数

• 齐次方程，$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$：

$$\{\begin{array}{ll}{\lambda }_1\ne {\lambda }_2& \to y=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}\\ {\lambda }_1={\lambda }_2& \to y=(C_1+C_{2}x)e^{{\lambda }_{1}x}\\ {\lambda }_1,{\lambda }_2=\alpha \pm \beta i& \to y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)\end{array}$$

• 非齐次方程，$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$：

  根据$非齐通=齐通+非齐特$，首先根据特征方程法算出对应齐通，然后根据下面的$f(x)$形式，设出对应非齐特（这种方法只能解部分方程，但是考纲就考这些）：

  特解形式设定原则：

  $$
  \begin{array}{c c c |c c}\hline
  f(x)& \text{XX}非根&所设特解形式 &\text{XX}重数 &乘额外因子\ \hline
  p_n(x)&0&R_n(x)&0,1,2&x^0,x1,x^2 \
  Ae^{ax}&a&Be{ax}&0,1,2&x^0,x1,x^2 \
  p_n(x)e^{{ax}&a&R_n(x)e}{ax}&0,1,2&x^0,x1,x^2 \
  A\sin\omega x或A\cos\omega x &i\omega&M\cos \omega x+N\sin \omega x&0,2&x^0,x1\
  Ae^{\alpha x}\sin\beta x或Ae^{\alpha x}\cos\beta x&\alpha \pm \beta&e^{\alpha x}(M\cos \beta x+N\sin \beta x)&0,2&x^0,x1\
  \hline
  \end{array}

  $$

  根据上述特解形式代入到原方程求解参数，得到非齐特，再与特征方程法的齐通相加即为非齐通。

1. 常系数齐次高阶微分方程，$y^{(n)}+p_1{y}^{(n-1)}+p_2{y}^{(n-2)}+\cdots +p_{n-1}{y}^{\prime }+p_{n}y=0$：

   $$\{\begin{array}{ll}{\lambda }_i为n个相异的根& \to y=C_1{e}^{{\lambda }_1}x+C_2{e}^{{\lambda }_2}x+\cdots +C_n{e}^{{\lambda }_n}x\\ \lambda =k为m重实根& \to 通解包含(C_1+C_{2}x+\cdots +C_m{x}^{m-1})e^{kx}\\ \lambda =\alpha \pm i\beta 为m重复根& \to 通解中包含e^{\alpha x}[(C_1+C_{2}x+\cdots +C_m{x}^{m-1})\cos \beta x\\ & +(D_1+D_{2}x+\cdots +D_m{x}^{m-1})\sin \beta x]\end{array}$$

2. 欧拉方程，$x^n{y}^{(n)}+p_1{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}\cdots +p_{n-1}x{y}^{\prime }+p_{n}y=f(x)$：

   若$x>0$，令$x=e^t$（若$x<0$，令$x=-e^t$），两种情况都有：

   $$x^k{y}^{(k)}=D(D-1)(D-2)\cdots (D-k+1)y$$

   其中，$D$代表$\frac{d}{dt}$，对t求导；$D^2$代表对t求二阶导。

   将上述式子代入原式后，即可得到非齐次为$e^t$函数的，常系数微分方程。解之得$y=g(t)$，再把t定义式代入即可

16 无穷级数

傅里叶展开：

$$
\begin{aligned}
&f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty(a_n\cos \frac{n\pi}{l}x+b_n\sin \frac{n\pi}{l}x)\
&其中: {\kern 5pt}a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)\cos \frac{n\pi}{l}xdx, \quad n=0,1,\cdots\
&{\kern 34pt}b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)\sin \frac{n\pi}{l}xdx, \quad n=1,2,\cdots\

\end{aligned}
$$

若$f(x)$为偶：

$$
\begin{aligned}
&f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cos \frac{n\pi}{l}x\
&其中: {\kern 5pt}a_n=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}f(x)\cos \frac{n\pi}{l}xdx, \quad n=0,1,\cdots\
&{\kern 34pt}b_n=0\

\end{aligned}
$$

若$f(x)$为奇：

$$
\begin{aligned}
&f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty b_n\sin \frac{n\pi}{l}x\
&其中: {\kern 5pt}a_n=0\
&{\kern 34pt}b_n=\frac{2}{l}\int_{0}^lf(x)\sin \frac{n\pi}{l}xdx, \quad n=1,2,\cdots\

\end{aligned}
$$

正项级数的积分判别法：

设$f(x)$在$[a,+\infty ),(a\in N^{\ast })$上非负且单调递减，令$u_n=f(n)$，则级数$\sum _1^{+\infty }{u}_n$与反常积分${\int }_1^{+\infty }f(x)dx$同敛散

注意隐藏条件：若数列$\{a_n\}$是单调递减的正项数列，有条件$\frac{a_{n+1}}{a_n}\le 1$

17 多元函数积分学的预备知识

几种基本运算：

$$
\begin{aligned}
\vec{a} \times\vec{b}&=
\left|
\begin{array}{ccc}
i&j&k\
a_x&a_y&a_z\
b_x&b_y&b_z
\end{array}
\right |, \quad |\vec{a} \times\vec{b}|=|a||b|\sin \theta
\
[\vec{a} \vec{b} \vec c]&=(\vec{a} \times\vec{b})\cdot \vec c=
\left |
\begin{array}{ccc}

a_x&a_y&a_z\
b_x&b_y&b_z\
c_x&c_y&c_z
\end{array}
\right |, \quad[\vec{a} \vec{b} \vec c]=0 \Leftrightarrow三向量共面\
\text{grad}u(x,y,z)\vert {p_0}&=(u_x’,u_y’,u_z’)|{p_0} \
若A&=P\vec i+Q\vec j+R\vec k, \vec l=(\cos\alpha, \cos\beta,\cos\gamma)\Rightarrow
\begin{cases}
&\frac{\partial \text{div}A}{\partial \vec l}=f_x’\cos \alpha+f_y’\cos \beta+f_z’\cos \gamma\
&\text{div}A=P_x’+Q_y’+R_z’=f\

&\text{rot}A=
\left|
\begin{array}{ccc}
i&j&k\
\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\
P&Q&R
\end{array}
\right |
\end{cases}
\end{aligned}
$$

线面之间的位置关系：

$$\begin{array}{rl}线线，面面夹角:& \theta =\arccos \frac{|{\tau }_1\cdot {\tau }_2|}{{\tau }_1{\tau }_2},\theta =\arccos \frac{|n_1\cdot n_2|}{n_1{n}_2}\\ 线面夹角:& \theta =\arcsin \frac{|\tau \cdot n|}{\tau n}\end{array}$$

各种积分微元：

$$\begin{array}{rl}& d\sigma =dxdy=rdrd\theta \\ & dV=dxdydz=r^2\sin \psi drd\psi d\theta \\ & ds=\sqrt{1+(y_x^{\prime }{)}^2}dx(曲线微元)\\ & dS=\sqrt{1+(z_x^{\prime }{)}^2+(z_y^{\prime }{)}^2}dxdy(投影到xoy平面的曲面微元)\end{array}$$

斯托克斯公式：

$$\oint Pdx+Qdy+Rdz=\underset{\Sigma }{\iint }\left|\begin{array}{ccc}dydz& dzdx& dxdy\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|=\underset{\Sigma }{\iint }\left|\begin{array}{ccc}\cos \alpha & \cos \beta & \cos \beta \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|dS$$

假设有有直线$l_0:\frac{x-x0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$，且有$M_0(x_0,y_0,z_0),s=(m,n,p)$，空间点$M_1(a,b,c)$，则$M_1$到$l_0$的距离为：

$$d=\frac{|M_0{M}_1\times s|}{|s|}$$

若有平行直线$l_1:\frac{x-x1}{m}=\frac{y-y_1}{n}=\frac{z-z_1}{p}$，则两平行直线的距离公式也为$d$

空间点$P(a,b,c)$到平面$Ax+By+CZ+D=0$的距离为：

$$d=\frac{|Aa+Bb+Cc+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

18 多元函数积分学