数理统计复习笔记三——点估计

在数理统计复习笔记一——统计中常用的抽样分布和数理统计复习笔记二——充分统计量中，分别介绍了统计量的几个常用抽样分布和充分统计量，引入统计量的目的在于对感兴趣的问题进行统计推断。本文先讨论感兴趣参数的估计问题——点估计。

一、矩估计

1.1 定义

对于样本$X_1,\cdots ,X_n$以及任意一正整数$k$，我们称$$a_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^k\text{\hspace{1em}(1)}$$$$m_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^k\text{\hspace{1em}(2)}$$
为样本$k$阶原点矩和$k$阶中心矩。

称总体$X$的$k$阶原点矩和$k$阶中心矩分别为$${\mu }_k=E{X}^k\text{\hspace{1em}(3)}$$$${\nu }_k=E(X-{\mu }_1{)}^k\text{\hspace{1em}(4)}$$

由定义可知，样本矩不依赖于总体中的参数，但总体矩则与分布中的未知参数有关。由中心极限定理和大数定律可知，样本矩是总体矩的一个很好的估计。

1.2 总体均值和方差的矩估计

记$X_1,\cdots ,X_n$为简单随机样本，且总体二阶矩存在，记$\mu =E(X)$，${\sigma }^2=Var(X)$，则由矩估计法可知$$\hat{\mu }=a_1=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\text{\hspace{1em}(5)}$$$${\hat{\mu }}_2={\hat{\mu }}^2+{\hat{\sigma }}^2=a_2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2\text{\hspace{1em}(6)}$$
由此可求得总体均值和方差的矩估计为$$\hat{\mu }=\overline{X}\text{\hspace{1em}(7)}$$$${\hat{\sigma }}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2\text{\hspace{1em}(8)}$$
所以，总体均值的矩估计是样本均值，总体方差的矩估计是样本方差的$\frac{n-1}{n}$倍。记$S_n^{\ast 2}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$为修正的样本方差。而且上述结论不要求总体分布的形式。

1.3 例子

• 柏松分布$P(\lambda )$的总体均值的矩估计：$$\hat{\lambda }=\overline{X}\text{\hspace{1em}(9)}$$$$\hat{\lambda }=S_n^{\ast 2}\text{\hspace{1em}(10)}$$
  都是总体均值的矩估计（$\lambda$既是柏松分布$P(\lambda )$的均值，又是方差），但本着选用低阶矩的原则，可以选用$(9)$式。
• 均匀分布$U(0,\theta )$中参数$\theta$的估计：$$\hat{\theta }=2\overline{X}\text{\hspace{1em}(11)}$$

二、极大似然估计

2.1 基本思想

认为概率最大的事情最有可能发生。

2.2 似然函数

对于分布族$\{f(x,\theta ),\theta \in \Theta \}$，如以$f(\mathbf{x},\theta )$记其$n$个样本的联合概率分布，则对于给定的样本观测值$\mathbf{x}=(x_1,\cdots ,x_n)$，我们称$f(\mathbf{x},\theta )$为参数$\theta$的似然函数，简称为似然函数，并记作$$L(\theta ,\mathbf{x})=f(\mathbf{x},\theta ),\forall \theta \in \Theta \text{\hspace{1em}(12)}$$
称$\ln L(\theta ,\mathbf{x})$为对数似然函数，记为$l(\theta ,\mathbf{x})$或$l(\theta )$

由定义可知，似然函数与样本联合概率分布相同，但二者的含义却不同：样本联合概率分布是固定参数值$\theta$下关于样本$\mathbf{x}$的函数，它的取值空间为样本空间$\mathcal{X}$；似然函数则是固定样本观测值$\mathbf{x}$下关于参数$\theta$的函数，其在参数空间$\Theta$上取值。

换句话说就是，当给定参数后，样本联合分布将告诉我们哪个样本将以多大的概率被观测到；反过来，当有了样本后，似然函数将告诉我们如何最有可能的取参数$\theta$的估计。

2.3 MLE

2.3.1 定义

设$X_1,\cdots ,X_n$是来自某概率分布$f(x,\theta )\in \mathcal{F}=\{f(x,\theta ),\theta \in \Theta \subseteq {\mathbf{R}}^k\}$的一组样本，如果统计量$\hat{\theta }(\mathbf{X})$满足$$L(\hat{\theta }(\mathbf{x}),\mathbf{x})=\underset{\theta \in \Theta }{\sup }L(\theta ,\mathbf{x})\text{\hspace{1em}(13)}$$或等价的满足$$l(\hat{\theta }(\mathbf{x}),\mathbf{x})=\underset{\theta \in \Theta }{\sup }l(\theta ,\mathbf{x})\text{\hspace{1em}(14)}$$
则称$\hat{\theta }$是$\theta$的MLE

2.3.2 求解

根据定义可知，如果似然函数$L(\theta ,\mathbf{x})$关于$\theta$可微，则$\theta$的MLE可以通过求解下面的方程求得：$$\frac{\partial L(\theta ,\mathbf{x})}{\partial {\theta }_j}=0,j=1,\cdots ,k\text{\hspace{1em}(15)}$$或等价的有$$\frac{\partial l(\theta ,\mathbf{x})}{\partial {\theta }_j}=0,j=1,\cdots ,k\text{\hspace{1em}(16)}$$

称$15$或$16$为似然方程。

2.3.3 例子

• 正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$的$\mu$和${\sigma }^2$的MLE：$$\hat{\mu }=\overline{X}\text{\hspace{1em}(17)}$$$${\hat{\sigma }}^2=S_n^{\ast 2}\text{\hspace{1em}(18)}$$
  由此可知，对于正态总体而言，其均值和方差的矩估计和MLE是一样的

• 均匀分布$U(0,\theta )$的$\theta$的MLE：$$\hat{\theta }=X_{(n)}\text{\hspace{1em}(19)}$$
  和矩估计相比，不妨令${\hat{\theta }}_M=2\overline{X}$，${\hat{\theta }}_L=X_{(n)}$，则$E({\hat{\theta }}_M)=\theta$，$Var({\hat{\theta }}_M)=\frac{{\theta }^2}{3n}$，$E({\hat{\theta }}_L)=\frac{n}{n+1}\theta$，$Var({\hat{\theta }}_M)=\frac{n{\theta }^2}{(n+1{)}^2(n+2)}$。所以${\hat{\theta }}_M$是无偏估计，而${\hat{\theta }}_L$不是，但$Var{\hat{\theta }}_L<Var{\hat{\theta }}_M$

• 柏松分布$P(\lambda )$的$\lambda$的MLE：$$\hat{\lambda }=\overline{X}\text{\hspace{1em}(20)}$$

2.3.4 性质

• 一个参数的MLE不一定唯一
• MLE肯定是充分统计量的函数
• 如果$g(\theta )$是$1-1$映射，且$\hat{\theta }$是$\theta$的MLE，那么$g(\hat{\theta })$是$g(\theta )$的MLE，称为不变原则。

三、无偏估计和一致最小方差无偏估计

前两小节介绍了两种估计参数的方法，但我们应该选取哪一种呢？这就涉及到本节讲述的选择准则问题。

3.1 无偏估计准则

3.1.1 无偏估计

如果$T(\mathbf{X})$是未知参数$\theta$的函数$g(\theta )$的一个估计量，且满足$$E_{\theta }T(\mathbf{X})=g(\theta ),\forall \theta \in \Theta \text{\hspace{1em}(21)}$$
则称$T(\mathbf{X})$是$g(\theta )$的无偏估计，其中$E_{\theta }$表示期望是在分布$f_{\theta }$下进行的。否则就是有偏估计，称$b_T(\theta )=E_{\theta }T(\mathbf{X})-g(\theta )$为$T(\mathbf{X})$的偏差。

对于正态总体，我们不难验证，样本均值$\overline{X}$和样本方差$S_n^2$分别是总体均值和方差的无偏估计（对于非正态总体，这一结论也是正确的），而总体方差的矩估计和MLE——$S_n^{\ast 2}$则不是无偏的，这是我们采用$S_n^2$作为样本方差定义的一个原因。虽然$S_n^{\ast 2}$是有偏的，但随着$n$的增大，它越来越接近无偏。

$E(\overline{X})=E[\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i]=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}E(X_i)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\mu =\mu$，无偏得证。

$E(S_n^2)=E[\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2]=\frac{1}{n-1}E[\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2]=\frac{1}{n-1}E(\sum _{i=1}^n{X}_i^2-n{\overline{X}}^2)=\frac{1}{n-1}E(\sum _{i=1}^n{X}_i^2)-\frac{n}{n-1}E({\overline{X}}^2)$，而$E(X_i^2)-E(X_i{)}^2={\sigma }^2$，所以$E(X_i^2)={\mu }^2+{\sigma }^2$，所以$$E(\sum _{i=1}^n{X}_i^2)=nE(X_i^2)=n({\mu }^2+{\sigma }^2)\text{\hspace{1em}(*)}$$。
注意到，$Var(\overline{X})=Var(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}Var(X_i)=\frac{1}{n}{\sigma }^2$，而$Var(\overline{X})=E[{\overline{X}}^2]-E(\overline{X}{)}^2=E[{\overline{X}}^2]-{\mu }^2$，所以$$E[{\overline{X}}^2]={\mu }^2+\frac{1}{n}{\sigma }^2\text{\hspace{1em}(**)}$$结合$\ast$和$\ast \ast$即可得到$$E(S_n^2)=\frac{1}{n-1}E(\sum _{i=1}^n{X}_i^2)-\frac{n}{n-1}E({\overline{X}}^2)=\frac{n({\mu }^2+{\sigma }^2)}{n-1}-\frac{n}{n-1}({\mu }^2+\frac{1}{n}{\sigma }^2)={\sigma }^2$$，无偏得证。

注意到${\sigma }^2=E(X_i-\mu {)}^2=E[\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2]$，当$\mu$已知时，$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2$是${\sigma }^2$的一个无偏估计。当$\mu$未知时，自然的想法是用$\overline{X}$代替$\mu$，如果使用$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$来估计，那么会低估${\sigma }^2$。证明如下：
 
$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$=$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu +\mu -\overline{X}{)}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2+\frac{2}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu )(\mu -\overline{X})+\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(\mu -\overline{X}{)}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2-(\mu -\overline{X}{)}^2$
 
所以除非正好$\overline{X}=\mu$，否则我们一定有$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2<\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2$$
所以使用$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$来估计，会低估方差。

3.1.2 渐进无偏估计

如果$T(\mathbf{X})$是$g(\theta )$的一个有偏估计，且满足$$\underset{n\to \infty }{\lim }{E}_{\theta }T(X_1,\cdots ,X_n)=g(\theta ),\forall \theta \in \Theta \text{\hspace{1em}(22)}$$
则称$T$是$g(\theta )$的渐进无偏估计。

3.1.3 说明

• 无偏估计是从多次重复的角度引入的概念，从期望的定义不难看出，尽管一次估计，$T(\mathbf{x})$的值不一定恰好等于参数真值$g(\theta )$，但当大量重复使用时，其多次估计的平均值即等于参数
• 一个参数的无偏估计可能不是唯一的，也可能不存在，也可能不合理
• 缩小偏差的方法有刀切法和Bootstrap

3.1.4 例子

• 柏松分布$P(\lambda )$的参数$\frac{1}{\lambda }$不存在无偏估计
• 对于正态总体，样本标准差$S_n$不是$\sigma$的无偏估计（只有线性变换的无偏估计才是无偏估计）
• 由3.1.1可知，当正态总体均值$\mu$已知或未知时，${\sigma }^2$的无偏估计不唯一

3.2 一致最小均方误差准则

设$X_1,\cdots ,X_n$是来自分布族$\mathcal{F}=\{f(x,\theta ):\theta \in \Theta \}$中某一分布的样本，$g(\theta )$是一参数函数，以$\epsilon (g)$表示用来估计$g(\theta )$的某些估计量的集合，如果存在一个$T^{\ast }\in \epsilon (g)$，使得对任一$T\in \epsilon (g)$均有$$E_{\theta }(T^{\ast }-g(\theta ){)}^2\le E_{\theta }(T-g(\theta ){)}^2,\forall \theta \in \Theta \text{\hspace{1em}(23)}$$
则称$T^{\ast }$为$g(\theta )$的在$\epsilon (g)$中的一致最小均方误差估计，也称$T^{\ast }$在均方意义下优于$T$。

均方误差（MSE）：$MSE(T)=E_{\theta }(T-g(\theta ){)}^2$，当$T$是$g(\theta )$的无偏估计时，其MSE就是它的方差

3.3 一致最小方差无偏估计（$UMVUE$）

3.3.1 定义

设$X_1,\cdots ,X_n$是来自分布族$\mathcal{F}=\{f(x,\theta ):\theta \in \Theta \}$中某一分布的样本，$g(\theta )$是一参数函数，又设$T^{\ast }$为$g(\theta )$的一个无偏估计。如对于$g(\theta )$的任一无偏估计$T$，均有$$Va{r}_{\theta }(T^{\ast })\le Va{r}_{\theta }(T)\text{\hspace{1em}(24)}$$
则称$T^{\ast }$是$g(\theta )$的一致最小方差无偏估计，简记为$UMVUE$。

• 对于某些分布族或参数，其$UMVUE$不一定存在
• $UMVUE$在以概率1相等的意义下是唯一的
• 如果$T_1$和$T_2$分别是$g_1(\theta )$和$g_2(\theta )$的$UMVUE$，则对于任给定的常数$a,b$，$a{T}_1+b{T}_2$是$a{g}_1(\theta )+b{g}_2(\theta )$的$UMVUE$

3.3.2 例子

• 正态分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$的均值和方差的$UMVUE$：$$T(\mathbf{X})=\overline{X}\text{\hspace{1em}(25)}$$$$S_n^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2\text{\hspace{1em}(26)}$$

3.4 信息不等式和有效估计

$UMVUE$的方差是最小的，下面给出这个最小方差的一般表达式。

3.4.1 正则分布族和Fisher信息量

如果单参数分布族$\mathcal{F}=\{f(x,\theta ):\theta \in \Theta \}$具有如下五个条件：

1. 参数空间$\Theta$是直线上的开区间（有限、无限或半无限）
2. 导数$\frac{\partial f(x,\theta )}{\partial \theta }$存在，$\forall \theta \in \Theta$
3. 支撑剂与参数$\theta$无关（支撑集$S=\{x:f(x,\theta )>0\}$）
4. 其$PDF$$f(x,\theta )$的积分与微分运算可以互换，即$$\frac{d}{d\theta }{\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,\theta )dx={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\partial }{\partial \theta }f(x,\theta )dx\text{\hspace{1em}(27)}$$
5. $$I(\theta )=E_{\theta }(\frac{\partial }{\partial \theta }\ln f(x,\theta ){)}^2\text{\hspace{1em}(28)}$$存在，且$I(\theta )>0$

则称此分布族为$C-R$分布族，其中条件$1-5$也称为正则条件，$I(\theta )$称为该分布族的Fisher信息量。

• 柏松分布族是$C-R$分布族
• 正态分布族$N(\mu ,1)$，$\mu \in R$是$C-R$分布族
• 均匀分布族$U(0,\theta )$不是$C-R$分布族
• 考虑IID样本的联合PDF，则可以证明$E_{\theta }(\frac{\partial }{\partial \theta }\ln f(\mathbf{X},\theta ){)}^2=nI(\theta )$

3.4.2 信息不等式

本小节讨论正则分布族参数的无偏估计的方差的下界，即著名的信息不等式（C-R不等式）

设分布族$\mathcal{F}=\{f(x,\theta ):\theta \in \Theta \}$是正则的，可估函数$g(\theta )$在$\Theta$上可微，又设$X_1,\cdots ,X_n$是$n$个来自此分布族的IID样本，$T(\mathbf{X})$是$g(\theta )$的一个无偏估计，且满足积分与微分号可互换的条件，即$$\frac{d}{d\theta }{\int }_{-\infty }^{\infty }T(\mathbf{x})f(x,\theta )dx={\int }_{-\infty }^{\infty }T(\mathbf{x})\frac{\partial }{\partial \theta }f(x,\theta )dx\text{\hspace{1em}(29)}$$
则有$$Va{r}_{\theta }(T(\mathbf{X}))\ge \frac{(g^{{}^{\prime }}(\theta ){)}^2}{nI(\theta )}\text{\hspace{1em}(30)}$$
其中，$I(\theta )$为$\mathcal{F}$的Fisher信息量，$\frac{(g^{{}^{\prime }}(\theta ){)}^2}{nI(\theta )}$成为$g(\theta )$的无偏估计的方差的C-R下界。

• 当样本不是独立时，只需把式$30$中的$nI(\theta )$换为$E_{\theta }(\frac{\partial \ln f(\mathbf{X},\theta )}{\partial \theta }{)}^2$即可
• 信息不等式与Fisher信息量密切相关。不妨假设信息不等式的下界可以取到，且$g(\theta )=\theta$，则此时无偏估计的最小方差为$\frac{1}{nI(\theta )}$。这说明，$n\theta$越大，最小方差越小，参数$\theta$越可以被精确的估计。这也说明，如果以估计量的方差的倒数作为估计量精度的指标，则精度与样本量$n$成正比，而$I(\theta )$则反映总体分布的性质，$I(\theta )$越大，说明总体本身提供的信息量越多。
• $$E_{\theta }[\frac{\partial }{\partial \theta }\ln f(\mathbf{X},\theta )]=0\text{\hspace{1em}(31)}$$
• $$I(\theta )=Va{r}_{\theta }[\frac{\partial }{\partial \theta }\ln f(\mathbf{X},\theta )]=-E_{\theta }[\frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}\ln f(\mathbf{X},\theta )]\text{\hspace{1em}(32)}$$
• 结合MLE的相关知识，可以得到$I(\theta )$是用来估计MLE的方程的方差，详见极大似然估计的渐进正态性

3.4.3 有效估计

设$T(\mathbf{X})$是$g(\theta )$的一个无偏估计，则比值$$e_n=\frac{(g^{{}^{\prime }}(\theta ){)}^2/nI(\theta )}{Va{r}_{\theta }T(\mathbf{X})}\text{\hspace{1em}(33)}$$
为$T(\mathbf{X})$的效率。如果$e_n=1$，则称$T(\mathbf{X})$为$g(\theta )$的有效估计。如果$\underset{n\to \infty }{\lim }{e}_n=1$，则称$T(\mathbf{X})$为$g(\theta )$的渐进有效估计。

3.5 相合估计

从大样本角度（即$n$不固定）考虑估计的优良。

3.5.1 相合估计

设统计量$T_n$是总体参数$g(\theta )$的估计量，如果当$n\to \infty$时，

• $T_n$依概率收敛于$g(\theta )$，即对$\forall \theta \in \Theta$及$ϵ>0$，有$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\{|T_n-g(\theta )|\ge ϵ\}=0$$则称$T_n$是$g(\theta )$的（弱）相合估计。
• $T_n$以概率1收敛于$g(\theta )$，即$\forall \theta \in \Theta$，有$$P\{\underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n=g(\theta )\}=1$$则称$T_n$是$g(\theta )$的强相合估计。

3.5.2 例子

只要样本$X_1,\cdots ,X_n$是$IID$的，且期望$EX=\mu$存在，则由大数定律知，样本均值就是总体均值$\mu$的相合估计，而与其具体分布无关。