密码学-有限域

有限域

近世代数基础

• 群

• A5交换群：满足交换律的群

• 循环群：如果群中每一个元素都是某个固定元素g属于群G的幂g^k，则群G为循环群

• 环

• 交换环：M4乘法的交换律

• 整环：M5存在乘法单位元、M6无零因子

• 域F：满足A1_A5，M1M6且有M7乘法逆元

有限域

• 阶为p的有限域GF§
  • 给定一个素数p，元素个数为p的有限域GF§被定义为整数{0,1，……，p-1}的集合Zp，其运算为模p的算术运算
  • 是一个交换环
  • Zn中某一整数有乘法逆元，当且仅当该整数与n互素
  • 若n为素数，则Zn中所有非零整数都与n互素，所以Zn中所有非零整数都有乘法逆元。
  • 在GF（p）中秋乘法逆元
    • a，b互素，则b有模a的乘法逆元
    • a是素数并且b
    • 用扩展欧几里得算法：求b在a下的逆元即求扩展欧几里得算法中的y
      -

多项式运算

• 普通多项式运算：

  • f（x）是定义在系数集S上的n次多项式
    -

• 系数在Zp中的多项式运算

  • 考虑几个系数集合S的除法运算5/3

    • 如果S是有理数集合（域），那么结果可与简单表示成5/3，这是S中的一个元素
    • 如果S是域Z7，此时5/3 = （5*3^-1)mod 7 = 4。一定能整除
    • 如果S是整数集（是环但不是域），那么结果商1余2

  • 多项式除法

    • 系数集是一个域，多项式除法也不一定能整除：多项式会产生一个商式和一个余式

    • n次多项式f（x）和m次多项式g（x），（m

      f（x） = q（x）*g（x）+r（x）
      

  • 多项式模运算：与整数运算相似：可以写成：r（x） = f（x）mod g（x）

  • GF（2）上的多项式

    • 加法和减法相当于异或
    • 乘法相当于逻辑与

  • 素多项式：当且仅当f（x）不能表示为两个多项式的积，域F上的多项式被称为不可约的

  • 最大公因式：通过欧几里得算法可求，例：

  • 

• 有限域GF（2^{n）：有限域的元素个数必须为p}n，其中p为素数，n为正整数

  • 多项式模运算：

  • 有限域构造运算：

    • 遵循普通多项式运算规则
    • 系数运算以p为模，即遵循有限域Zp上的运算规则
    • 如果乘法运算的结果次数大于n-1的多项式，那么必须将其除以一个次数为n的既约多项式m（x）并取余式

• 多项式剩余类集合

• 多项式的逆元

  • f(x)a(x)+m(x)b(x) = 1,两边同时模上m（x）得知f（x）的逆就是a（x)

• 构造有限域GF（2^3)

  • 既约多项式：x^3+x2+1和x^3+x+1
  • 选择后者则，

• 求乘法逆元：给定既约多项式a（x）和模的有限域元素b（x），则其乘法逆元满足

$$b(x)w(x)=1moda(x)$$

​ 使用扩展欧几里得算法

• 加快多项式乘法：多项式表示成一个n位的二进制数

  • GF（2^n）加法、减法：二进制异或操作

  • GF（2^n）乘法：

    • 一般地
      $$x^{n}modp(x)=p(x)-x^n$$

    • $$\begin{gathered} f(x)=b_7{x}^7+b_6{x}^6+...+b_{1}x+b_0 \\ x\ast f(x)=b_7{x}^8+b_6{x}^7+...+b_1{x}^2+b_{0}x \\ x\ast f(x)modm(x)=m(x)-b_7{x}^8+b_6{x}^7+...+b_1{x}^2+b_{0}x \\ 表达为二进制形式： \\ x\ast f(x)=b_6{b}_5{b}_4{b}_3{b}_2{b}_1{b}_{0}0如果b_7=0 \\ x\ast f(x)=b_6{b}_5{b}_4{b}_3{b}_2{b}_1{b}_{0}0异或00011011如果b_7=1 \end{gathered}$$

• 生成元

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