1 数列和函数极限概念

1 数列和函数极限概念

1.1 方法论

1.1.1 反例常用函数与数列

1. $y=|x|$
2. $y=sgn(x)=\{\begin{array}{l}1,x>0\\ 0,x=0\\ -1,x<0\end{array}$
3. Dirichlet 函数, 在 $R$ 上
   $D(x)=\{\begin{array}{l}1,\text{ 当 }x\text{ 为有理数 }\\ 0,\text{ 当 }x\text{ 为无理数 }\end{array}$
4. Riemann 函数
   $R(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{q},当x=\frac{p}{q}\left(p,q\in N_{+},\frac{p}{q}为既约真分数\right)\\ 0,当x=0,1和(0,1)\text{内}的无理数\end{array}$
5. 初等函数
   $y=acr\tan x$ 单调递增且有界
   $y=\sin \frac{1}{x}$ 有界, 但振荡
   $y=x^n\sin \frac{1}{x}+x^m$
   $y=\frac{1}{x}$
6. 数列: $(-1{)}^n\frac{1}{n}、\frac{1}{n}、n$

1.1.2 数列性质

1. 数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛 $⟺$ 有界（单调）
2. $\left\{b_n\right\}$ 为对 $\left\{a_n\right\}$ 增加, 减少或改变有限项之后得到的数列, 则 $\left\{b_n\right\}$ 与 $\left\{a_n\right\}$ 同敛散, 且极限相同
3. 数列收敛, 则子列也收敛
4. 部分子列若能构成整个数列, 若子列均收敛, 则数列也收敛
5. 设 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 与 ${\lim }_{x\to x_0}g(x)$ 都存在着, 且在某邻域 $\stackrel{O}{U}\left(x_0,\delta \right)$ 内有 $f(x)\le g(x)$, 则 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)\le {\lim }_{x\to x_0}g(x)$
6. 绝对值: 若 ${\lim }_{x\to x_0}{a}_n=a$, 则 ${\lim }_{x\to x_0}\left|a_n\right|=|a|$, 但反之不成立

1.1.3 函数有界

1. 有界性: 存在 $M>0$, 任何 $x\in I,|f(x)|\le M$, 则 $f(x)$ 在 $I$ 上有界
2. 用定义
3. $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续 $⟹f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界
4. $f(x)$ 在 $(a,b)$ 连续, 且 $f\left(a^{+}\right),f\left(b^{-}\right)$存在 $⟹(a,b)$ 有界
5. $f^{\prime }(x)$ 在区间 $I$ 有界 $⟹f(x)$ 在 $I$ 上有界
6. 归结原则

1.1.4 函数极限

1. 局部有界: ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在, 则 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域有界
2. 局部保号性
3. 脱帽: $\lim f(x)=A⟹f(x)=A+\alpha (x)$, 而 $\lim \alpha (x)=0$

1.1.5 常用手段

1. 无穷与振荡（互相使用）
2. 交错数列、分段数列（针对无穷小）
3. 调和数列（针对有界）
4. 反证法（针对有、无界）
5. 逆否命题（针对有、无界）
6. 比较、比值（针对敛散性）
7. 极端特殊（常数、相等、0、±1）

1.2 有界

【例 1】以下四个命题中正确的是
(A) 若 $f^{\prime }(x)$ 在 $(0,1)$ 内连续, 则 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内有界.
(B) 若 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内连续, 则 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内有界.
© 若 $f^{\prime }(x)$ 在 $(0,1)$ 内有界, 则 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内有界.
(D) 若 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内有界, 则 $f^{\prime }(x)$ 在 $(0,1)$ 内有界.

【例2】下列四个函数中
(1) $x\sin \frac{1}{x}$.
(2) $\frac{1}{x}\sin \frac{1}{x}$.
(3) $\frac{\sin x}{x}$.
(4) $x\sin x$.
在区间 $(0,+\infty )$ 上有界的共有
(A) 1 个.
(B) 2 个.
© 3 个.
(D) 4 个.

【例3】设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty )$ 连续, 则 “存在 $x_n\in [a,+\infty )$, 有 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=+\infty$ 且 ${\lim }_{n\to \infty }f\left(x_n\right)=$ $\infty$ ” 是 $f(x)$ 在 $[a,+\infty )$ 无界的
(A) 充分非必要条件.
(B) 必要非充分条件.
© 充要条件.
(D) 既非充分又非必要条件.

1.3 去心邻域

【基础知识】

1、函数极限的定义
设函数在点的某一去心邻域内有定义, 如果存在常数 $A$, 对于任意给定的正数（无论它多么小) 总存在正数, 使得当 $x$ 满足不等式时, 对应的函数值都满足不等式: $|f(x)-A|<\epsilon$
那么常数 $A$ 就叫做函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时的极限, 记作 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=A$
2、数列极限的保号性
如果 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$, 且 $a>0($ 或 $a<0)$,
那么存在正整数 $N$, 当 $n>N$ 时, 都有 $x_n>0$ (或 $x_n<0$ )
3、函数极限的局部保号性
若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$, 且 $A>0$, 则存在 $U^{\circ }\left(x_0,\delta \right)$, 使得当 $x\in \dot{U}\left(x_0,\delta \right)$ 时 $f(x)>0$
4、函数在某一个点连续的定义
设函数 $f(x)$ 在 $U\left(x_0\right)$ 内有定义, 若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f\left(x_0\right)$, 则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 连续

【例 1】设函数 $f(x)$ 连续, 且 $f^{\prime }(0)>0$, 则存在 $\delta >0$, 使得 (A) $f(x)$ 在 $(0,\delta )$ 内单调增加.
(B) $f(x)$ 在 $(0,\delta )$ 内单调减少.
© 对任意的 $x\in (0,\delta )$ 有 $f(x)>f(0)$.
(D) 对任意的 $x\in (-\delta ,0)$ 有 $f(x)>f(0)$.

• 如果加上 $f^{\prime }(x)$ 在 $x_0$ 点连续, 那么 ${\lim }_{x\to x_0}{f}^{\prime }(x)=f^{\prime }\left(x_0\right)>0$
  那么再由极限保号性,
  存在 $\stackrel{\circ }{U}\left(x_0,\delta \right)$, 使得当 $x\in \stackrel{\circ }{U}\left(x_0,\delta \right)$ 时, $f^{\prime }(x)>0$
  则可以保证 $f(x)$ 在 $\stackrel{U}{}\left(x_0,\delta \right)$ 内单调
  反过来, 也就是如果没有 $f^{\prime }(x)$ 在 $x_0$ 点连续,
  单单只有 $f^{\prime }\left(x_0\right)>0$, 是得不到 $f^{\prime }(x)$ 在 $x_0$ 的去心领域都大于 0
  只有保证 $f^{\prime }(x)$ 在 $x_0$ 的去心领域都大于 0 , 才能说 $f(x)$ 在 $x_0$ 的去心领域单调

【例2】下列命题中正确的是
(A) 若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)⩾{\lim }_{x\to x_0}g(x)\Rightarrow$ 存在 $\delta >0$, 当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时 $f(x)⩾g(x)$.

(B) 若存在 $\delta >0$ 使得当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$ 且 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A_0$, ${\lim }_{x\to x_0}g(x)=B_0$ 均存在, 则 $A_0>B_0$.

© 若存在 $\delta >0$, 当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时 $f(x)>g(x)\Rightarrow {\lim }_{x\to x_0}f(x)⩾{\lim }_{x\to x_0}g(x)$.

(D) 若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)>{\lim }_{x\to x_0}g(x)\Rightarrow$ 存在 $\delta >0$, 当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$.

1.4 数列极限

【例 1】设 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\},\left\{c_n\right\}$ 均为非负数列, 且 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=0,{\lim }_{n\to \infty }{b}_n=1,{\lim }_{n\to \infty }{c}_n=\infty$, 则必有

(A) $a_n<b_n$ 对任意 $n$ 成立.
(B) $b_n<c_n$ 对任意 $n$ 成立.
© 极限 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n{c}_n$ 不存在.
(D) 极限 ${\lim }_{n\to \infty }{b}_n{c}_n$ 不存在.

【例 2】设数列 $\left\{x_n\right\}$ 与 $\left\{y_n\right\}$ 满足 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n{y}_n=0$, 则下列命题正确的是
(A) 若 $x_n$ 发散,则 $y_n$ 必发散.
(B) 若 $x_n$ 无界,则 $y_n$ 必有界.
© 若 $x_n$ 有界,则 $y_n$ 必为无穷小.
(D) 若 $\frac{1}{x}$ 为无穷小, 则 $y_n$ 必为无穷小.

【例 3】设 $a_n>0(n=1,2,\cdots ),S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$, 则数列 $\left\{S_n\right\}$ 有界是数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛的
(A) 充分必要条件.
(B) 充分非必要条件.
© 必要非充分条件.
(D) 既非充分也非必要条件.

【例4】设有数列 $\left\{x_n\right\}$ 与 $\left\{y_n\right\}$, 以下结论正确的是
(A) 若 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n{y}_n=0$, 则必有 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=0$ 或 ${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=0$.
(B) 若 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n{y}_n=\infty$, 则必有 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=\infty$ 或 ${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=\infty$.
© 若 $x_n{y}_n$ 有界,则必有 $x_n$ 与 $y_n$ 都有界.
(D) 若 $x_n{y}_n$ 无界,则必有 $x_n$ 无界或 $y_n$ 无界.

【例5】设 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n{y}_n=\infty$, 则下列结论错误的是
(A) ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=\infty$ 与 ${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=\infty$ 至少有一个成立.
(B) $\left\{x_n\right\}$ 与 $\left\{y_n\right\}$ 中至少有一个为无界变量.
© 若 $\left\{x_n\right\}$ 是无穷小量, 则 $\left\{y_n\right\}$ 必为无界变量.
(D) 若 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a\ne \infty$, 则 $\left\{y_n\right\}$ 必为无穷大量.

【例6】设数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 对任意的正整数 $n$ 满足 $a_n⩽b_n⩽a_{n+1}$, 则 (A) 数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 均收玫, 且 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n={\lim }_{n\to \infty }{b}_n$.
(B) 数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 均发散, 且 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n={\lim }_{n\to \infty }{b}_n=+\infty$.
© 数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 具有相同的敛散性.
(D) 数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 具有不同的敛散性.

【例7】设有下列命题
(1) 数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛 (即存在极限 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n$ ), 则 $x_n$ 有界.
(2) 数列极限 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a\iff {\lim }_{n\to \infty }{x}_{n+l}=a$. 其中 $l$ 为某个确定的正整数.
(3) 数列 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a\iff {\lim }_{n\to \infty }{x}_{2n-1}={\lim }_{n\to \infty }{x}_{2n}=a$.
(4) 数列极限 ${\lim }_{n\to \infty }{x}_n$ 存在 $\iff {\lim }_{n\to \infty }\frac{x_{n+1}}{x_n}=1$.
则以上命题中正确的个数是
(A) 1 .
(B) 2 .
© 3 .
(D) 4 .

1.5 函数极限

【例 1】设对任意的 $x$ 总有 $\phi (x)⩽f(x)⩽g(x)$, 且 ${\lim }_{x\to \infty }[g(x)-\phi (x)]=0$, 则 ${\lim }_{x\to \infty }f(x)$
(A) 存在且等于零.
(B) 存在但不一定为零.
©一定不存在.
(D) 不一定存在.

【例2】 有以下命题: 设 ${\lim }_{x\to a}f(x)=A,{\lim }_{x\to a}g(x)$ 不存在, ${\lim }_{x\to a}h(x)$ 不存在,
(1) ${\lim }_{x\to a}(f(x)\cdot g(x))$ 不存在.
(2) ${\lim }_{x\to a}(g(x)+h(x))$ 不存在.
(3) ${\lim }_{x\to a}(h(x)\cdot g(x))$ 不存在.
(4) ${\lim }_{x\to a}(g(x)+f(x))$ 不存在.
则以上命题中正确的个数是
(A) 0 .
(B) 1 .
© 2 .
(D) 3 .

【例3】“ $f(x)$ 在 $x_0$ 点连续” 是 $|f(x)|$ 在 $x_0$ 点连续的
(A) 充分条件, 但不是必要条件.
(B) 必要条件,但不是充分条件.
© 充分必要条件.
(D) 既不是充分条件, 也不是必要条件.

1.6 函数嵌套数列

【2008，数一】设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 内单调有界, $\left\{x_n\right\}$ 为数列，下列命题正确的是 $($ )
(A) 若 $\left\{x_n\right\}$ 收敛, 则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛.
(B) 若 $\left\{x_n\right\}$ 单调, 则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛.
$(\mathrm{C})$ 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛, 则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛.
(D) 若 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 单调, 则 $\left\{x_n\right\}$ 收敛.

【2007, 数一、数二】设函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上具有二阶导数, 且 $f^{\prime \prime }(x)>0$. 令 $u_n=f(n)(n=1,2,\cdots )$, 则下列结论正确的是
(A) 若 $u_1>u_2$, 则 $\left\{u_n\right\}$ 必收玫
(B) 若 $u_1>u_2$, 则 $\left\{u_n\right\}$ 必发散
© 若 $u_1<u_2$, 则 $\left\{u_n\right\}$ 必收玫
(D) 若 $u_1<u_2$, 则 $\left\{u_n\right\}$ 必发散