02极限

极限

一、定义

1.数列极限

${\lim }_{n\to \infty }=a:\forall \epsilon >0,\exists N>0,当n>N时，有|x_n-a|<\epsilon$

【注】（1）几何意义

​ （2）数列$\left\{x_n\right\}$的极限与前有限项无关。

​ （3）${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a\iff {\lim }_{n\to \infty }{x}_{2n}={\lim }_{n\to \infty }{x}_{2n-1}=a$

​ （4）一个数列有没有极限和前有限项没有关系。

• 一个数列以a为极限，那么这个数列奇数项构成的部分列和偶数项构成的部分列一定有极限a。一个数列有极限，它任何一个部分列都有极限，并且以a为极限。
• 奇数列偶数列有极限并不能推出原数列有极限，奇数列偶数列有极限且相等才能推出原数列有极限。

2.函数极限

（1)自变量趋于无穷大时函数的极限

$\begin{array}{l}{\lim }_{x\to +\infty }f(x)=A:\forall \epsilon >0,\exists X(\epsilon )>0,\text{ 当 }x>X\text{ 时,有 }|f(x)-A|<\epsilon \\ {\lim }_{x\to -\infty }f(x)=A:\forall \epsilon >0,\exists X(\epsilon )>0,\text{ 当 }x<-X\text{ 时,有 }|f(x)-A|<\epsilon \\ \lim f(x)=A:\forall \epsilon >0,\exists X(\epsilon )>0,\text{ 当 }|x|>X\text{ 时,有 }|f(x)-A|<\epsilon \end{array}$

【注】$\text{ 在函数极限中 }x\to \infty \text{ 是指 }|x|\to +\infty ,\text{ 而在数列极限中, }n\to \infty \text{ 是指 }n\to +\infty .$

（2）自变量趋于有限值时的函数极限

$\text{ 极限}{\lim }_{x\to x_0}f(x)=A:\forall \epsilon >0,\exists \delta (\epsilon )>0,\text{ 当 }0<\left|x-x_0\right|<\delta \text{ 时,有 }|f(x)-A|<\epsilon$

【注1】（1）$x\to 0,但x\ne 0$

​ （2）与$f(x_0)$值无关。

​ （2）与$\mathring{U}(x_0,\delta )$函数值有关

【例】${\lim }_{x\to x_0}f(x)=a,且{\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-a}{x-x_0}=b$能不能推出$f^{\prime }(x_0)=b$

如果能，就是一个经典的错误。导数的定义是：${\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

附加一个条件：$f(x)在x_0$处连续，则能推出正确。

因为，$f(x)在x_0$处连续，所以${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)=a$

【注2】${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A\iff {\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to x_o^{-}}f(x)=A$

二、性质

1.有界性

1.1数列极限

如果数列$\left\{X_n\right\}$ 收敛，那么数列$\left\{X_n\right\}$一定有界

注：反例，$X_n=(-1{)}^n$，该数列有界但不收敛。

1.2函数极限

$若{\lim }_{x\to x_0}f(x)存在，则f(x)在x_0某去心领域内有界（即局部有界）$

注： 反例，$f(x)=sin\frac{1}{x}$，该函数在x=0的去心邻域内有界，但在x=0出的极限不存在

注：收敛一定有界，有界不一定收敛。

2.保号性

2.1数列极限

$设{\lim }_{n\to +\infty }{X}_n=A$

$（1）如果A>0（或A<0），则存在N>0，当n>N时，X_n>0(或X_n<0)$

$（2）如果存在N>0，当n>N时，X_n\ge 0（或X_n\le 0），则A\ge 0(或A\le 0)$

【注1】保号性对数列只保n充分大，管不了前面有限项，因为数列极限和前有限项没有关系，它是后面无穷多项的变化趋势。

【注2】$A>0\to X_n>0$能不能改成$A\ge 0\to X_n\ge 0$

设极限$A=0$，可以从左右趋进于0，如$X_n=\frac{(-1{)}^n}{n}\to 0$

如图，奇数项在0左边，偶数项在0右边，n取再大，$X_n$都有正有负，不能保证后面每一项

都$>0$，所以带上等号就不对。

【注3】$X_n\ge 0\to A\ge 0$能不能改为$X_n>0\to A>0$

例，$X_n=\frac{1}{n}>0$，但是极限${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$。

2.2函数极限

$设{\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$

$（1）如果A>0(或A<0)，则存在\delta >0，当x\in \mathring{U}(x_0,\delta )时，f(x)>0(或f(x)<0)$

$（2）如果存在\delta >0，当x\in \mathring{U}(x_0,\delta )时，f(x)\ge 0(或f(x)\le 0)，那么A\ge 0(或A\le 0)$

【注1】或$f(x)>0,A\ge 0$,必须后面必须要加等号。

【注2】只能保证在领近去心领域>0。

3.极限的不等式性质

3.1数列极限

$设{\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a,{\lim }_{n\to \infty }{y}_n=b.$

$(1)若a>b，则\exists N，当n>N时有x_n>y_n；$

$(2)若n>N时x_n\ge y_n，则a\ge b.$

3.2函数极限

$设{\lim }_{x\to x_0}f(x)=A,{\lim }_{x\to x_0}g(x)=B.$

$(1)若\text{A>B}，则\exists \delta >0使得当0<\left|x-x_0\right|<\delta 时有\text{f(x)>g(x)};$

$(2)若\exists \delta >0,使得当0<\left|x-x_0\right|<\delta 时有f(x)\ge g(x))(或\underline{f(x)>g(x)}),则A\ge B.$

4.极限值与无穷小之间的关系【容易忽略的知识点】

$limf(x)=A\iff f(x)=A+\alpha (x)$

其中 $lim\alpha (x)=0$

注：可以用来做抽象函数的题。

三、极限存在性的判别

1.极限存在的两个准则

1. 夹逼定理
2. 单调有界必收敛

2.极限存在的一个充要条件

1. 函数极限：${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A\iff {\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to x_o^{-}}f(x)=A$

2. 数列极限：${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=A\iff {\lim }_{n\to \infty }{x}_{2n}={\lim }_{n\to \infty }{x}_{2n-1}=A$

【例】（2015,数三）设 $\left\{x_n\right\}$ 是数列，下列命题中不正确的是

(A) $若{\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a,则{\lim }_{n\to \infty }{x}_{2n}={\lim }_{n\to \infty }{x}_{2n+1}=a$

数列$x_n$以a为极限，它的偶数列$x_{2n}$和奇数列$x_{2n+1}$都以a为极限。

(B) $若{\lim }_{n\to \infty }{x}_{2n}={\lim }_{n\to \infty }{x}_{2n+1}=a,则{\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$

一个数列有极限的充要条件，是它的奇偶列都有极限且相等。

© $若\lim x_n=a,则{\lim }_{n\to \infty }{x}_{3n}={\lim }_{n\to \infty }{x}_{3n+1}=a$

不管$x_{3n}$还是$x_{3n+1}$都是这个数列的部分列，一个数列只要有极限，它的任何一个部分列都有极限等于a。

(D) $若{\lim }_{n\to \infty }{x}_{3n}={\lim }_{n\to \infty }{x}_{3n+1}=a,则{\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$

选项B，$x_{2n}$和$x_{2n+1}$取遍了这个数列的所有项，所以它两个就能决定原来数列的极限。

选项D，$x_{3n}$和$x_{3n+1}$取遍不了所有项，它还缺一个$x_{3n+2}$。

n	$x_{3n}$	$x_{3n+1}$	$x_{3n+2}$
1	$x_3$	$x_4$	$x_5$
2	$x_6$	$x_7$	$x_8$
3	$x_9$	$x_{10}$	$x_{11}$

若$x_{3n}=x_{3n+1}=1$，而$x_{3n+2}=0$。

显然${\lim }_{n\to \infty }{x}_{3n}={\lim }_{n\to \infty }{x}_{3n+1}=1$，而${\lim }_{n\to \infty }{x}_{3n+2}=0$，则${\lim }_{n\to \infty }{x}_n$不存在。

改：若${\lim }_{n\to \infty }{x}_{3n}={\lim }_{n\to \infty }{x}_{3n+1}={\lim }_{n\to \infty }{x}_{3n+2}=a$，则${\lim }_{n\to \infty }=a$

四、极限计算

1.利用基本极限求解

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0}{b_m{x}^m+b_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +b_{1}x+b_0}=\{\begin{array}{cl}\frac{a_n}{b_m},& n=m\\ 0,& n<m\\ \infty ,& n>m\end{array}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}^n=\{\begin{array}{cc}0,& |x|<1\\ \infty ,& |x|>1\\ 1,& x=1\\ \text{ 不存在, }& x=-1\end{array}$$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{e}^{nx}=\{\begin{array}{cc}0,& x<0\\ +\infty ,& x>0\\ 1,& x=0\end{array}$$

2.洛必达法则

$\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },\frac{\ast }{\infty }$

注：

①运用变量替换、等价无穷小因子替换、恒等变形以及函数的连续性与极限的四则运算法

则、换元法、提出可以先算出的因式

②数列极限不能直接用洛必达法则。如用，得先转化成连续变量的极限即函数极限。

3.泰勒公式

公式：

$f(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\cdots +\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}{\left(x-x_0\right)}^n+o{\left(x-x_0\right)}^n$

$f(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\cdots +\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}{\left(x-x_0\right)}^n+\frac{1}{(n+1)!}{f}^{(n+1)}(\xi )(x-x_0{)}^{n+1}$

$\xi$在x与$x_0$之间

$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+o\left(x^n\right)$

记忆：

$e^x\to \ln (1+x)$ \quad \quad $e^x$去首项，去阶乘，正负交错。

$e^x\to \sin x$ \quad \quad $e^x$的偶数项正负交错。

$e^x\to \cos x$ \quad \quad $e^x$的奇数项正负交错。

$\sin x\to \cos x$ \quad \quad $\sin x$求导。

$\sin x\to \arctan x$ \quad \quad $\sin x$去阶乘。

$\ln (1+x)\to \frac{1}{1+x}$ \quad \quad $\ln (1+x)$求导

$\frac{1}{1+x}\to \frac{1}{1-x}$ \quad \quad 将x换成-x

【注】
$x-ln(1+x)\sim \frac{1}{2}{x}^2$

$x-sinx\sim \frac{1}{6}{x}^3$

$x-arctanx\sim \frac{1}{3}{x}^3$

$tanx-x\sim \frac{1}{3}{x}^3$

$arcsinx-x\sim \frac{1}{6}{x}^3$
​

展开原则：

1. $\frac{A}{B}$型——上下同阶原则（$A\cdot B=\frac{A}{\frac{1}{B}}$）

   即，若分母（分子）是$x^k$次，则分子（分母）展开至$x^k$

2. $A-B$型——幂次最低（$A+B=A-(-B)$）

   即，将A、B展开至系数不相同的x的最低次幂为止。

4.等价无穷小代换

1.代换原则

(1) 乘除关系可以换

$若\alpha \sim {\alpha }_1,\beta \sim {\beta }_1,则\lim \frac{\alpha }{\beta }=\lim \frac{{\alpha }_1}{\beta }=\lim \frac{\alpha }{{\beta }_1}=\lim \frac{{\alpha }_1}{{\beta }_1}$

(2) 加減关系在一定条件下可以换

$若\alpha \sim {\alpha }_1,\beta \sim {\beta }_1,且\lim \frac{{\alpha }_1}{{\beta }_1}=A\ne 1,则\alpha -\beta \sim {\alpha }_1-{\beta }_1$

​ 即，减项不能等价。

$若\alpha \sim {\alpha }_1,\beta \sim {\beta }_1,且\lim \frac{{\alpha }_1}{{\beta }_1}=A\ne -1,则\alpha +\beta \sim {\alpha }_1+{\beta }_1$

2.常用的等价无穷小，$当x\to 0$

（1）$sinx\sim x,tanx\sim x,arcsinx\sim x,arctanx\sim x,e^x-1\sim x,ln(1+x)\sim x$

$1-cosx\sim \frac{1}{2}{x}^2,1-co{s}^{a}x\sim \frac{a}{2}{x}^2,secx-1\sim \frac{x^2}{2}$

$$\begin{gathered} (1+x{)}^a-1\sim ax,(1+\alpha x{)}^{\beta }-1\sim \alpha \beta x, \\ (1+x{)}^a\sim 1+ax,\sqrt{1+x}-1\sim \frac{1}{2}x,\sqrt[n]{1+x}-1\sim \frac{1}{n}x \end{gathered}$$

$a^x-1\sim xlna(a>0,a\ne 1),lo{g}_a(1+x)\sim \frac{1}{lna}x(a>0,a\ne 1)$

【注】$(1+\alpha x{)}^{\beta }-1\sim \alpha \beta x$

当$x\to 0$时，$(1+x{)}^a-1\sim ax$这个结论推广可得：

若$\alpha (x)\to 0,\alpha (x)\beta (x)\to 0$（$\beta (x)$可以趋向于无穷，但是只要相乘趋向于0，这个结论就可以用。）

则$(1+\alpha (x){)}^{\beta (x)}-1\sim \alpha (x)\beta (x)$

（2）$x-sinx\sim \frac{1}{6}{x}^3,x-ln(1+x)\sim \frac{1}{2}{x}^2,x-arctanx\sim \frac{1}{3}{x}^3$

$tanx-x\sim \frac{1}{3}{x}^3,arcsinx-x\sim \frac{1}{6}{x}^3$

（3）设$f(x)$和$g(x)$在$x=0$的某领域内连续，且${\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=1$

​ 则${\int }_0^{x}f(t)dt\sim {\int }_0^{x}g(t)dt$

5.有理运算法则

以上可应用于：极限、连续、导数、级数

无界$\times$无界=不确定

无穷大$\times$无穷大=无穷大

无穷小$\times$无穷大=不确定

6.7种未定式$\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },\infty -\infty ,0\cdot \infty ,1^{\infty },{\infty }^0,0^0$

1. $\frac{0}{0}$

1）通过恒等变形约去分子、分母中极限为0或∞的因子，然后用极限四则运算法则
2）洛必达法则
3）泰勒公式
4）变量替换与重要极限公式
5）等价无穷小因子替换

2. $\frac{\infty }{\infty }$

1)洛必达法则

2）分子分母同除以分子分母各项中最高阶的无穷大

【注】${\infty }_1+{\infty }_2$低阶无穷大可以忽略

​ 无穷小+无穷小高阶无穷小可以忽略

3. $\infty -\infty$

   1）通分化为$\frac{0}{0}$（适用于分式差）

   2）根式有理化（适用于根式差）

   3）提无穷因子，然后等价代换或变量代换、泰勒公式

   4）倒代换（$x=\frac{1}{t}$）

4. $0\cdot \infty$

   常用的方法是化为$\frac{0}{0}或\frac{\infty }{\infty }$

   搬谁方便就搬谁，如果搬两个都不方便，处理的时候关键是处理前面的无穷小，用等价无穷小代换。

5. $1^{\infty }$

4.$0^0$

对“$0^0$”型极限$f\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}(x{)}^{g(x)}$若，$\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\frac{g(x)}{f(x)}=l$，可借助基本极限${\lim }_{x\to 0^{+}}{x}^x=1$消除未定式：

$\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}f(x{)}^{g(x)}=\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}(f(x{)}^{f(x)}{)}^{\frac{g(x)}{f(x)}}=1^l=1$

5.${\infty }^0$

对“${\infty }^0$”型极限$f\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}(x{)}^{g(x)}$，若$f(\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}x)g(x)=l$，可借助基本极限${\lim }_{x\to +\infty }{x}^{\frac{1}{x}}=1$

$\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}f(x{)}^{g(x)}=\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}(f(x{)}^{\frac{1}{f(x)}}{)}^{f(x)g(x)}=1^l=1$

$\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty }\Leftarrow \{\begin{array}{ll}0\cdot \infty \Leftarrow & \{\begin{array}{ll}{1}^{\infty }& \\ {\infty }^0& \Leftarrow \mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}[f(x){]}^{g(x)}=\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}{e}^{g(x)lnf(x)}\\ 0^0& \end{array}\\ \infty -\infty & \end{array}$

7.分左右求极限

1. 分段函数在分界点处的极限

2. $e^{\infty }型极限$

3. $arctan\infty 型极限$

8.拉格朗日中值定理

$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a),\xi \in (a,b)$

【注】一般情况下$\xi \to 0$

五、数列极限

1.夹逼准则

1. 简单放大缩小

n个数之和不超过最大数乘n，不小于最小数乘n
分子与分母同为正数，把分母放大则分数值缩小
若干正数的乘积中，把小于1的因子略去则乘积放大，把大于1的因子略去则乘积缩小

注： 放老二不放老大

【例】$w={\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{i=1}^n\frac{n\tan \frac{i}{n}}{n^2+i}$

这里放缩的时候

缩小：$\frac{\square }{n^2+n}$

放大：$\frac{\square }{n^2}$（这里可以直接把$i$省略）

2. 利用极限的不等式性质进行方法缩小

3. 对积分的极限可以利用积分的性质进行放大和缩小

   $|{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x|\le {\int }_a^b|f(x)|\mathrm{d}x$

2.不定式的极限

海涅定理：把数列极限改写为函数极限

3.n项和的数列极限

3.1夹逼原则

3.2定积分定义

利用定积分定义求${\lim }_{n\to \infty }{a}_n$步骤

（1）通过恒等变形，将$a_n$化为特殊形式的积分和

$a_n={\sum }_{i=k}^{m}f(\frac{i}{n})\frac{1}{n}$

（2）寻找被积函数$f(x)$确定积分上下限

令$\frac{i}{n}=x$，被积函数为$f(\frac{i}{n})=f(x)$

积分下限：$a={\lim }_{n\to \infty }\frac{k}{n}$（k为i的第一个取值）

积分上限：$b={\lim }_{n\to \infty }\frac{m}{n}$（m为i的最后一个取值）

（3）根据定积分的定义，将${\lim }_{n\to \infty }{a}_n$写成定积分

${\lim }_{n\to \infty }{a}_n={\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{i=k}^{m}f(\frac{i}{n})\frac{1}{n}={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$

（4）计算定积分得所求极限为

${\lim }_{n\to \infty }{a}_n={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x={\left[F(x)\right]}_a^b$

4.n项积的数列极限

分子、分母同乘以一个因子，使之出现连锁反应

把通项拆开，使各项相乘过程中中间项相消

夹逼原则

取对数化为n项和

5.$X_{n+1}=f(x_n)$利用定极限定义求极限

前提：通项公式由递推公式给出且不单调时使用。

1. 先证单调有界，再计算$a=f(a)$

2. $\left|X_n-a\right|\le K\left|X_{n-1}-a\right|\le \cdots \le K^{n-1}\left|X_1-a\right|\to 0(n\to \infty )\left\{0<K<1\right\}$

6.单调有界

1.单调

(1)$X_{n+1}-X_n\{\begin{array}{l}与0比较\{\begin{array}{ll}>0,& 单调递增\\ <0,& 单调递减\end{array}\\ 与X_n-X_{n-1}比较⟶同号⟶单调（有两个界要证）\end{array}$

(2)$\frac{X_{n+1}}{X_n}\{\begin{array}{ll}>1,& 单调递增\\ <1,& 单调递减\end{array}$

(3)$X_{n+1}=f(X_n)求f^{\prime }(X_n)\{\begin{array}{ll}>0,& 单调（X_2>X_1单增；X_2<X_1单减）\\ 不恒大于0,& 不单调\end{array}$

(4)数学归纳法

比如证明数列$\left\{X_n\right\}$单增，即要证明对任意正整数n都有$X_{n+1}-X_n>0$，则按下列顺序：

①验证n=1时成立，即验证$X_2-X_1\ge 0$成立

②假设当n=k时成立，即假设$X_{k+1}-X_k\ge 0$成立

③根据n=k时成立，推导出n=k+1时也成立，即根据$X_{k+1}-X_k\ge 0$成立，推导出$X_{k+2}-X_{k+1}\ge 0$成立。

(5)中值定理

递推式中出现$g(\square )-g(\Delta )$，可以用拉格朗日中值定理。

2.有界

（1）利用基本不等式

①a, b>0，则有$0<\frac{a}{a+b}<1,0<\frac{b}{a+b}<1,0<X_{n+1}=\frac{X_n}{2+X_n}<1$

②均值不等式：$a^2+b^2\ge 2ab\left\{2ab\le a^2+b^2\right\},a+\frac{1}{a}\ge 2(a>0)$

$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}⩽\sqrt{ab}⩽\frac{a+b}{2}⩽\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$

调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数

调和平均数：$H_n=\frac{n}{{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{x_i}}=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}}$

几何平均数：$G_n=\sqrt[n]{{\prod }_{i=1}^n{x}_i}=\sqrt[n]{x_1{x}_2{x}_3\cdots x_n}$

算数平均数：$A_n=\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i}{n}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$

平方平均数：$Q_n=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2}{n}}=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}{n}}$

调和平均数（harmonic mean）：

harmonic

adj. 和声的;
n. 泛音; 和声

几何平均数（geometric Mean）：

geometric

adj. 几何(学)的; (似) 几何图形的;

算数平均数（arithmetic mean）：

arithmetic

n.算术;算术教科书,算法

a.算术的

平方平均数（quadratic mean）：

quadratic

a.二次的;方形的

n.二次方程式,二次项

③绝对值不等式

$||a|-|b||\le |a\pm b|\le |a|+|b|$

④常用其他不等式

1)$x\in (0,\frac{\pi }{2})$时，$0<\sin x<x<\tan x$；

​ $x\in (-\frac{\pi }{2},0)$时，$\tan x<x<\sin x<0$；

或者

​ $x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$时，$\sin |x|=|\sin x|\le |x|\le |\tan x|=\tan |x|$

2)$x\ge 0$时，$\frac{x}{1+x}\le \ln (1+x)\le x$

3)$\forall x\in R,e^x\ge 1+x$

4)积分不等式

如果$f(x)\le g(x)$，且$a\le b$，那么有${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\le {\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$

（2）利用数学归纳法

（3）拆项，构造，放缩

六、无穷小量

1.无穷小量的比较

${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\{\begin{array}{ll}l\ne 0且\ne 1,& \text{f(x)与g(x)同阶而不等价}\\ 1,& \text{f(x)与g(x)等价}\\ 0,& \text{f(x)比g(x)高阶}\\ \infty ,& \text{f(x)比g(x)低阶}\end{array}$

无穷小的阶数：$若\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\frac{\alpha (x)}{[\beta (x){]}^k}=C\ne 0，则称\alpha (x)为\beta (x)的k阶无穷小$

2.方法

洛必达法则

等价代换

泰勒公式

分子分母有理化

拉格朗日中值定理

3.无穷小的性质

（1）有限个无穷小的和仍是无穷小。

（2）有限个无穷小的积仍是无穷小。

（3）无穷小与有界量的积仍是无穷小。

【注】以上两条中有限二字不能少。

七、无穷大量

1. 无穷大的概念

   若${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\infty$，称$f(x)$为$x\to x_0$时的无穷大。

2. 常用的一些无穷大的比较

   （1）当$x\to \infty$时

   ​ $l{n}^{\alpha }x<<x^{\beta }<<a^x$

   ​ 其中$\alpha >0,\beta >0,a>1$

   （2）当$n\to \infty$时

   ​ $l{n}^{\alpha }n<<n^{\beta }<<a^n<<n!<<n^n$

   ​ 其中$\alpha >0,\beta >0,a>1$

3. 无穷大量与无界变量的关系

   数列$\left\{x_n\right\}$是无穷大：

   ​ $\forall M>0,\exists N>0,当n>N时，恒有|x_n|>M.$

   N以后的所有项。

   $|x_n|$都很大

   数列$\left\{x_n\right\}$是无界变量：

   ​ $\forall M>0,\exists N>0,使|x_n|>M.$

   N对应的那一项。

   $|x_n|$有很大

【推出】无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大量。

4. 无穷大量与无穷小量的关系

   在同一极限过程中，如果$f(x)$是无穷大，则$\frac{1}{f(x)}$是无穷小；反之，如果$f(x)$是无穷小，且$f(x)\ne 0$，则$\frac{1}{f(x)}$是无穷大。

若对任意给定的$\epsilon >0$，总存在$\delta >0$，当$0<|x-x_0|<\delta$时，恒有$|f(x)-A|<\epsilon$，则称常数A为函数$f(x)$当$x\to x_0$时的极限，记为${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$.

【注】无穷小量的倒数是无穷大是错误的，要加前提条件$f(x)\ne 0$。

八、函数的连续性

1.连续性的概念

$若{\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)称f(x)在x_0处连续$

左连续：${\lim }_{x\to x_{0^{-}}}f(x)=f(x_0)$
右连续：${\lim }_{x\to x_{0^{+}}}f(x)=f(x_0)$

定理：$f(x)连续\iff f(x)左连续且右连续$

区间内连续

$若f(x)在(a,b)内任一点连续，则称f(x)在(a,b)内连续。$

$若f(x)在(a,b)内连续，在x=a处右连续，在x=b处左连续，则称f(x)在[a,b]上连续。$

2.间断点

1.判定

没有定义的点

2.第一类间断点

特点：左右极限均存在

可去间断点：$f(x_0+0)=f(x_0-0)\ne f(x_0)或f(x)在点x=x_0处无定义$

跳跃间断点:$f(x_0+0)\ne f(x_0-0)$

3.第二类间断点

特点：左右极限至少有一个不存在

无穷间断点：$f(x_0+0)与f(x_0-0)中至少有一个为\infty$，如${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{x}=\infty$

震荡间断点：${\lim }_{x\to 0}\sin \frac{1}{x}$

3.连续性的运算及性质

• 连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍为连续函数

  ​ 连续$\pm \times ÷$连续=连续

  ​ 不连续$\pm \times ÷$不连续=不一定

  Eg：狄利克雷函数D(x)在x是有理数时取1，其他情况取0；

  构造f1(x)=D(x),f2=-D(x),f3=1-D(x)，f4=1+D(x)
  那么f1+f(2)=0连续，f1-f1=0连续，f1$\ast$f3连续，f4/f4连续。
  至于不连续的例子，那就非常多了，例如f1+f4,f1-f3,f1*f4,f1/f4都不连续。

  ​ 连续$\times ÷$不连续=不一定

  连续函数与间断函数的乘除则是不一定的，可能是连续的，也可能是间断的，例如：f恒为0，g是任意，那么f*g都为0。

  ​ 连续$\pm$不连续=不连续

  连续函数与间断函数的加减一定是间断的，可以用反证法得到（若连续，设f连续，g间断，则g=(f+g)-f连续，矛盾.）

• 连续函数的复合仍为连续函数

  ​ 连续[连续]=连续

  ​ 连续[不连续]=不一定

• 基本初等函数在其定义域内是连续

• 初等函数在其定义区间内都是连续的

4.闭区间上连续函数的性质

1.最值定理

$设f(x)在闭区间[a.b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值$

2.有界性定理

$设f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a.b]上必有界$

3.介值定理

$设f(x)在闭区间[a.b]上连续，则f(a)\ne f(b)，则对于任意介于f(a)与f(b)之间的数C，至少存在一点\xi \in (a,b)，使得f(\xi )=C$

4.零点定理

$设f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)\cdot f(b)<0，则至少存在一点\xi \in (a,b)，使f(\xi )=0$

补充知识点

1. ${\lim }_{a\to \infty }{a}_n=a\Rightarrow {\lim }_{x\to \infty }|a_n|=|a|>0$，反过来则不成立。

2. $$\begin{gathered} 无界\to 无极限 \\ 无极限\nrightarrow 无界 \end{gathered}$$

3. ${\lim }_{x\to x_0}g(x)=0\iff {\lim }_{x\to x_0}|g(x)|=0$

技巧

1. $\phi (x)\le f(x)\le g(x)$

   举带等号的这种例子的时候，大家都取等号。

   如$\phi (x)=f(x)=g(x)=x$

   $\phi (x)=f(x)=g(x)=1$

2. 数列举例可以直接举一个数字

   如，$a_n=1$

3. 常见的用来举例的数列

   $\sqrt{n},\frac{1}{n},\frac{1}{n^2}$

   $$\begin{gathered} 无界但非无穷大 \\ {x}_n=1,0,3,0,5,0\cdots \\ {y}_n=0,2,0,4,0,6\cdots \end{gathered}$$

4. $e^x-1\sim x$

   ${\lim }_{x\to x_0}\frac{e^A-e^B}{\square }={\lim }_{x\to x_0}\frac{e^B(e^{A-B}-1)}{\square }$

5. $\sqrt{x^2}=-x,(x\to -\infty )$

   例，${\lim }_{x\to -\infty }\frac{\sqrt{4x^2+x-1}+x+1}{\sqrt{x^2+\sin x}}$

   $={\lim }_{x\to -\infty }\frac{\sqrt{x^2(4+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2})}}{\sqrt{x^2(1+\frac{\sin x}{x^2})}}$