PyTorch中计算KL散度详解

PyTorch计算KL散度详解

最近在进行方法设计时，需要度量分布之间的差异，由于样本间分布具有相似性，首先想到了便于实现的KL-Divergence，使用PyTorch中的内置方法时，踩了不少坑，在这里详细记录一下。

简介

首先简单介绍一下KL散度（具体的可以在各种技术博客看到讲解，我这里不做重点讨论）。
从名称可以看出来，它并不是严格意义上的距离（所以才叫做散度~），原因是它并不满足距离的对称性，为了弥补这种缺陷，出现了JS散度（这就是另一个故事了…）
我们先来看一下KL散度的形式：
$$DKL(P||Q)=\sum _{i=1}^N{p}_i\log \frac{p_i}{q_i}=\sum _{i=1}^N{p}_i\ast (\log p_i-\log q_i)$$

手动代码实现

可以看到，KL散度形式上还是比较直观的，我们先手撸一个试试：
这里我们随机设定两个随机变量P和Q

import torch
P = torch.tensor([0.4, 0.6])
Q = torch.tensor([0.3, 0.7])

快速算一下答案：
$$\begin{array}{rl}DKL(P||Q)& =0.4\ast (\log 0.4-\log 0.3)+0.6\ast (\log 0.6-\log 0.7)\\ & \approx 0.0226\end{array}$$

数值计算实现版：

def DKL(_p, _q):
		"""calculate the KL divergence between _p and _q
		"""
    return  torch.sum(_p * (_p.log() - _q.log()), dim=-1)

divergence = DKL(P, Q)
print(divergence)
# tensor(0.0226)

上面的代码中，之所以求和时dim=-1是因为我在使用的过程中，考虑到有时是对batch中feature进行计算，所以这里只对特征维度进行求和。
接下来，就到了今天介绍的主角~

torch代码实现

torch中提供有两种不同的api用于计算KL散度，分别是torch.nn.functional.kl_div()和torch.nn.KLDivLoss()，两者计算效果类似，区别无非是直接计算和作为损失函数类。

先介绍一下torch.nn.functional.kl_div()：

注意，该方法的input和target与$KL(P||Q)$中$P$、$Q$的位置正好相反，从参数名称就可以看出来（target为目标分布$P$，input为待度量分布$Q$）。为了防止指代混乱，我后面统一用$P$、$Q$指代target和input。

这里重点关注几个对计算结果有影响的参数：

reduction：该参数是结果应该以什么规约形式进行呈现，sum即为我们定义式中的效果，batchmean：按照batch大小求平均，mean：按照元素个数进行求平均

再看看log_target的效果：

if not log_target: # default
    loss_pointwise = target * (target.log() - input)
else:
    loss_pointwise = target.exp() * (target - input)

也就是说，如果log_target=False，此时计算方式为
$$res=P\ast (\log P-Q)$$
这和我们熟悉的定义式的计算方式是不同的，如果想要和定义式的效果一致，需要对input取对数操作（在官方文档中也有提及，建议将input映射到对数空间，防止数值下溢）：

import torch.nn.Functional as F

print(F.kl_div(Q.log(), P, reduction='sum'))
#tensor(0.0226)

而当log_target=True时，此时的计算方式变为
$$res=e^P\ast (P-Q)$$
也就是说，此时我们对$P$取对数操作即可得到定义式的效果：

print(F.kl_div(Q.log(), P.log(), 
	  log_target=True, reduction='sum'))
#tensor(0.0226)

这样设计的目的也是为了防止数值下溢。

torch.nn.KLDivLoss()的参数列表与torch.nn.functional.kl_div()类似，这里就不过多赘述。

总结

总的来说，当需要计算KL散度时，默认情况下需要对input取对数，并设置reduction='sum'方能得到与定义式相同的结果：

divergence = F.kl_div(Q.log(), P, reduction='sum')

由于我们度量的是两个分布的差异，因此通常需要对输入进行softmax归一化（如果已经归一化则无需此操作）：

divergence = F.kl_div(Q.softmax(-1).log(), P.softmax(-1), reduction='sum')