matlab通过傅里叶级数生成周期三角波

引入

我们知道，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示。那么周期三角波如何通过matlab这一工具使用傅里叶级数相加的方法来表示呢？
我所选择生成的三角波的函数表达式为：

f(t) = t - [t] , [t]为不大于t的最大整数

它的函数图像为：

原理

1. 复数表示

根据三角波的函数表达式：

f(t) = t - [t] , [t]为不大于t的最大整数

我们使用周期函数求傅里叶级数的公式：
$$a_k=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f\left(t\right)e^{-jk{\omega }_{0}t}dt$$
此时我们可以使用傅里叶级数来表示三角波函数:
$$f(t)={\sum }_{k=-N}^N{a}_k{e}^{jk{w}_{0}t}$$
其中N在数学公式中理应为正无穷+∞，但是在代码实现过程中为一个我们可以调整的有限变量值，它表示傅里叶级数相加的位数。它越大，三角波函数的生成情况越好。我们也可以通过从小到大调整这一变量值，来观察三角波函数生产情况的由坏变好。

2. 三角函数

我们知道，一个周期为2L的周期函数f(t)可以表示为：
$$f(t)=\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n\cos (\frac{n\pi }{L}t)+{\sum }_{n=1}^{+\infty }{b}_n\sin (\frac{n\pi }{L}t)$$
其中：
$$a_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(t)\cos \frac{n\pi }{L}tdt$$
$$b_n=\frac{1}{L}{\int }_{-L}^{L}f(t)\sin \frac{n\pi }{L}tdt$$
处理上述系数的方式有两种：（1）通过matlab计算，这种方法可以避免我们自己人工运算积分式子，但是会大大增加程序的计算量，增加程序运行时间；（2）通过人工计算出积分式子，得到系数的表达式，省去matlab中积分的运算。

若采用第二种方法，需将我们这次需要实现的周期三角波函数代入到上述公式，计算出：
$$a_n=\{\begin{array}{lc}2{\int }_0^{1}t\cos (2n\pi t)dt=0& n\ne 0\\ 1& n=0\end{array}$$
$$bn=2{\int }_0^{1}t\sin (2n\pi t)dt=-\frac{1}{n\pi }$$
所以三角波函数可以表示为：
$$f(t)=1+{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{-1}{n\pi }\sin (2n\pi t)$$

matlab代码

复数

复数积分在matlab中的代码还没得到很好的解决

三角函数

方法1（不推荐，运行时间很长）

运行时间很长，当N输入为1000时，matlab运行时间约为20分钟左右。

clear;
x = -3:0.01:3;
N = input('please enter the N')
y = g(N);  %N为相加的项数
plot(x,y);

 %定义累加函数，其变量N决定相加项数的多少
function y=g(N) 
x = -3:0.01:3;
y = zeros(1,length(x))
y = a(0)/2+y;
for k = 1:N
ai= a(k).*cos(2*k*pi.*x)+b(k).*sin(2*k*pi.*x); 
y = y + ai;  %各项累加
end
end

%定义求an的函数
function ak = a(k)  
syms t;
ak = 2*int(t*cos(2*k*pi*t),t,0,1);
end

%定义求bn的函数
function bk = b(k)
syms t;
bk = 2*int(t*sin(2*k*pi*t),t,0,1);
end

方法2

直接代入an，bn的值，运行速度很快，当n输入为1000时，运行时间也仅为1s以内

clear
n = input("please enter the n"); %取无穷级数的前K项叠加来近似f(t)
t = -2:0.01:2;
for k = 2:n
    f(k,:)=(-1)/pi/(k-1)*sin(2*pi*(k-1)*t);
end
f(1,:) = 1/2;  %加入a0的值
F = sum(f,1);
plot(t,F);

运行结果

因为三角函数的方法一和方法二是等价的，所以上述两个程序运行产生的效果是相同的。随着改变n的大小，结果如下图：

可以很明显地发现：随着相加项数的增加，三角波生成情况越来越好。