【数据结构与算法】接雨水问题

接雨水问题

给定$n$个非负整数表示每个宽度为1的柱子的高度图，计算按此排列的柱子，下雨之后能接多少雨水。

解题思路：每一个位置的雨水接收量大小取决于该位置两端的最大柱子高度，当知道一个位置$i$的柱子高度$H_i$和这个位置左右两边的最大柱子高度$H{L}_i$，$H{R}_i$后，该位置的雨水接收量满足：
$$V_i=min(H{L}_i,H{R}_i)-H_i$$
则对应的总的雨水接收量$V_N$可直接累加计算：
$$V_N=\sum _{i=1}^n{V}_i$$
于是解决问题的关键变成了求解每个位置两端的最大柱子高度，而这个问题可以使用动态规划分别求解出数组$HL$和$HR$。对于数组$HL$，第$i$个位置的元素值表示该位置左侧存在的最大柱子高度（可以是其本身），对于数组HR，第$i$个位置的元素值表示该位置右侧存在的最大柱子高度（可以是其本身），具体C++代码实现如下：

int trap(vector& height) {
	vector dpl(height.size()+1, 0); // 表示HL
	vector dpr(height.size()+1, 0); // 表示HR
	dpl[0] = 0, dpr[height.size()] = 0;
	for(int i=0; i height[i] ? dpl[i] : height[i]);
	}
	for(int i=height.size()-1; i>=0; i--){
		dpr[i] = (dpr[i+1] > height[i] ? dpr[i+1] : height[i]);
	}
	int tsum = 0;
	for(int i=0; i dpr[i] ? dpr[i] : dpl[i+1])-height[i]);
	}
	return tsum;
}