深入浅出图神经网络 第2章 神经网络基础 读书笔记

第2章 神经网络基础

2.1 机器学习基本概念

2.1.1 机器学习的分类

机器学习有以下几种常见的分类方法：

• 根据训练数据是否有标签可分为：
  • 监督学习：训练数据中每个样本都有标签，通过标签指导模型进行训练
  • 无监督学习：训练数据完全没有标签，算法从数据中发现约束关系，如数据之间的关联等，典型的无监督算法有如聚类算法
  • 半监督学习：训练数据又有有标签数据，又有无标签数据（GNN划时代的论文GCN的模型就是半监督的）
• 从算法输出的形式上可分为：
  • 分类问题：模型输出离散值
  • 回归问题：模型输出连续值

2.1.2 机器学习的流程

机器学习的流程可以简单概括为：提取特征–>建立模型–>确定损失函数和进行优化求解。

提取特征这一步没什么好说的，如果用的是经典的数据集那么特征都是被提取好的，如果要自己提取特定数据的特征那就要具体问题具体分析了。

建立模型这一步，书中介绍传统的机器学习模型有逻辑回归、随机森林等（话说我之前一直以为这些就算是分类器还算不上机器学习来着…）；而深度学习的方法有多层感知机（MLP），卷积网络等。模型可以看做是一个函数$Y=f(X;W)$，函数建立了特征X到标签Y到映射，而W则是模型中的参数。

确定损失函数才能评估一个模型的好坏，可以通过损失函数的值来优化模型。在2.1.3中介绍了一些常见的损失函数。

我们接着对流程中的后两步进行细致一点的说明，假设现在有训练集有N个样本，有$X=\{(x_i,y_i)|i=1,2,...,N\}$，分别为样本特诊及其对应的标签，特征$x_i\in R^d$，标签$y_i\in Y=\{0,1,...,K\}$是离散的。模型就是要给出$f:R^d\to R^K$这样的映射，最后的输出在每个类别上有一个概率$P(Y|x_i)=f(x_i;\theta )$，我们要取的就是最大的概率值作为最后模型给出的标签$y_i^{\ast }=argmax(P(Y|x_i))$，$argmax$取到的最大的参数就是最大的概率值。

那么我们前面提到了该如何评估一个模型的好坏，就是要评价我们得到的预测和真实值的差异，即$y_i$和$y_i^{\ast }$之间的差异，而且我们需要一个可以量化的方法，这个方法就是定义一个损失函数（Loss Function）。通常用$L(y,f(x;\theta ))$表示，通过最小化损失函数训练模型就是优化求解的过程，可以表示为${\theta }^{\ast }=argmin[\frac{1}{N}{\Sigma }_{i=1}^{N}L(y_i,f(x_i;\theta ))+\lambda \Phi (\theta )]$，期中均值函数表示的经验风险函数，L表示的是损失函数，$\Phi$表示的是正则化项（regularizer）或者惩罚项（penalty term），可以是L1或L2以及其他正则函数。总之过程就是在寻找是的目标函数最小的$\theta$值。

这个过程当然不是一蹴而就的，在训练过程中可能要迭代训练非常多轮直到损失不再变化，这时就称模型已经收敛。这一过程还有两个隐患，一个是训练过程一直用的是训练集，模型可能过拟合，变得只认识训练集而不认识测试集；也可能欠拟合，无论如何也无法在训练集上收敛。

2.1.3 常见损失函数

1. 平方损失函数：$L(y,f(x,\theta ))=\frac{1}{N}{\Sigma }_{i=1}^N(y_i-f(x_i;\theta ){)}^2$，常用于回归类问题
2. 交叉熵函数：$L(y,f(x))=H(p,q)=-\frac{1}{N}{\Sigma }_{i=1}^{N}p(y_i|x_i)log[q({\hat{y}}_i|x_i)]$，p表示数据标签的真实分布，q表示模型预测的分布，所以有$p(y_i|x_i)$就是数据的真实标签。对于二分类问题交叉熵可以化为二元交叉熵：$L(y,f(x))=-\frac{1}{N}{\Sigma }_{i=1}^N[y_{i}logq(y_i=1|x_i)+(1-y_i)log(1-logq(y_i=1|x_i))]$

2.1.4 梯度下降算法

原理

前面提到了训练模型时需要最小化损失函数，那么这个最小化的过程也不是说小就小了，最常用的就是梯度下降算法。

考虑多元函数$f(x)$（带入机器学习过程就是损失函数$L$），梯度就是对其中每个自变量的偏导数构成的向量，有$f^{\prime }(x)=\nabla f(x)=[\nabla f(x_1),...,\nabla f(x_n){]}^T$，考虑$f(x+\Delta x)=f(x)+f^{\prime }(x{)}^T\Delta x+o(x)$。

回顾我们的目标：最小化损失函数。那么就是想要$f(x+\Delta x)<f(x)$，忽略泰勒展开中的高阶项，就需要有$f^{\prime }(x{)}^T\Delta x<0$。而又有$f^{\prime }(x{)}^T\Delta x=||f^{\prime }(x{)}^T||\cdot ||\Delta x||\cdot cos\theta$。

向量的点积可以用二范数来表示，$x^{T}y=||x||\cdot ||y||\cdot cos\theta$。

我们取$\Delta x=-\alpha f^{\prime }(x)$来保证每次更新都会使得原式越来越小。这里$\alpha$是一个超参数，就是学习率（代码中常出现的$lr$）。

所以梯度下降的过程就是先初始化参数，之后让模型给出预测，计算损失函数，求导得到梯度，最后基于梯度更新，并不断重复直到模型收敛。

随机初始化参数：$\{{\theta }_0^{(0)},...,{\theta }_0^{(k)}\}$，计算$L_t=L(Y,f(X;{\Theta }_t))$，得到梯度$\nabla {\Theta }_t=\frac{\partial L_t}{\partial {\Theta }_t}=\{\nabla {\theta }_t^{(0)},...,\nabla {\theta }_t^{(k)}\}$，并更新${\Theta }_{t+1}=\{{\theta }_t^{(0)}-\alpha \nabla {\theta }_t^{(0)},...,{\theta }_t^{(k)}-\alpha \nabla {\theta }_t^{(k)}\}$。

随机梯度下降算法

原理所说的梯度下降算法被称作批梯度下降算法（BGD），其使用了全量的样本进行计算。

使用单一样本近似估计梯度的方法则被称为随机梯度下降（SGD）。具体来说，训练时每次从训练集中随机选择一个样本，计算损失和梯度，进行参数更新。显然其计算复杂度很低，但也有缺陷：虽然单一样本的梯度对全体样本的梯度是一个无偏估计，但仍然存在着偏差和不确定性，收敛速度会更慢。

改进的方法自然就是多选一些样本（但仍然少于全体样本），这样的方法被称作小批量随机梯度下降（mini-batch SGD）。

2.2 神经网络

2.2.1 神经元

基本神经元包括三个部分：输入信号，线性组合和非线性激活函数。

$z_i={\Sigma }_{j=1}^m{w}_{ij}{x}_j$，这里$x$是输入信号，$w$是神经元的权值，而$z$则是输入信号的线性组合。

$a_i=\sigma (z_i+b)$，这里$\sigma$是激活函数，$b$是偏置，$a$就是神经元的输出信号。

2.2.2 多层感知器

单隐层感知器

对于如图所示的感知器，计算过程可以表示为：$f(x)=f_2(b^{(2)}+W^{(2)}(f_1(b^{(1)}+W^{(1)}x)))$

感知器的信息传递

多层感知器MLP：

不同的就是有多个隐藏层，所以有更一般的MLP信息传播公式：

$z^{(l)}=W^{(l)}\cdot a^{(l-1)}+b^{(l)},a^{(l)}={\sigma }_l(z^{(l)})$

每层网络中，可训练的是$\{W^{(l)},b^{(l)}\}$

2.3 激活函数

激活函数的非线性让神经网络可以逼近任何非线性函数，因为注意到神经网络中会先进行线性组合，如果没有非线性元素的引入，那么神经网络最后的结果一定是线性的，表达能力有限。

2.3.1 S型激活函数

Sigmoid：$\sigma (x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$，常用于二分类器最后一层的激活函数

Tanh：$tanh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

2.3.2 ReLU及其变种

ReLU：$ReLU(x)=\begin{cases} x&\text{if KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '}' at position 3: x}̲\ge0 \\ 0& \tex… x < 0} \end{cases}$

输入为负梯度为0，输入为正梯度为1，单侧抑制。可能会导致某个神经元“死亡”。

LeakyReLU：$LeakyReLU(x)=\begin{cases} x&\text{if KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '}' at position 3: x}̲>0 \\ \lambda x… x} \le 0 \end{cases}$

$\lambda$是一个超参数用来避免神经元“死亡”。

PReLU则就是将LeakyReLU中的$\lambda$变为可训练的参数。

ELU：$ELU(x)=\begin{cases} x&\text{if KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '}' at position 3: x}̲\le0 \\ \alpha(… x} < 0 \end{cases}$

输入为负时进行非线性变换，其中$\alpha$是一个超参数，可以调节梯度为0。

2.4 训练神经网络

2.4.1 神经网络运行过程

1. 前向传播：给定输入和参数，向前计算，得到模型预测结果
2. 反向传播：基于预测结果，计算损失函数，计算梯度
3. 参数更新

2.4.2 反向传播

对样本$(x,y)$，前向传播得到$\hat{y}$，对应损失$L(y,\hat{y})$，参数矩阵梯度$\nabla W^{(l)}=\frac{\partial L(y,\hat{y})}{\partial W^{(l)}}$。

根据链式法则展开参数矩阵梯度有$\nabla W^{(l)}=\frac{\partial z^{(l)}}{\partial W^{(l)}}\frac{\partial L(y,\hat{y})}{\partial z^{(l)}}$。

定义${\delta }^{(l)}=\frac{\partial L(y,\hat{y})}{\partial z^{(l)}}$为误差项，其衡量了$z^{(l)}$对损失的影响，可进一步展开得到${\delta }^{(l)}=\frac{\partial a^{(l)}}{\partial z^{(l)}}\frac{\partial z^{(l+1)}}{\partial a^{(l)}}\frac{\partial L(y,\hat{y})}{\partial z^{(l+1)}}$。

回想：$z^{(l)}=W^{(l)}\cdot a^{(l-1)}+b^{(l)},a^{(l)}={\sigma }_l(z^{(l)})$

可继续变换得到：${\delta }^{(l)}={\sigma }^{\prime }(z^{(l)})\odot W^{(l+1{)}^T}{\delta }^{(l+1)}$，其中$\odot$是Hadamard积。

Hadamard积

可以看到第$l$和第$l+1$层的误差项是相关的，这也是为什么可以反向传播。

（再后续的推导看的就更懵了，没怎么给过程，读了一些其他人的读书笔记发现有人反应这里的推导有误，参考了其他书籍的BP推导发现从一开始符号用的就不一样，所以这部分就先不多写了，等啃明白了BP再回来补。这里给一个个人认为写的比较清晰的推导https://zhuanlan.zhihu.com/p/45190898，其实和书上的思路是一致的，就是书上的过程太简略了…）

2.4.3 优化困境

梯度消失：Sigmoid和Tanh函数在逼近上下边界的时候梯度会比较小，导致参数更新慢甚至不更新，模型难以训练，称为梯度消失

局部最优：损失函数和参数之间的关系是非凸的，在梯度下降的时候可能陷入局部最优