二维插值-MATLAB

二维插值，简单来说就是节点二维、插值函数二维，形如$z=f(x,y)$。

  为什么要插值呢？假如我们要根据已知的二维数据来绘制对应的三维曲面图像，就需要很多点的x、y、z坐标，但给定的数据一般比较少，不能仅仅通过点数据画出三维图形。又或者要获取未知点的坐标值（大概的）。

一、插值节点为网格节点

         网格节点，听命字就知道它是比较规则整齐的点了。相当于在$xyz$平面内，一条条整齐的平行于$x，y$轴的直线相交，再在$z$轴方向对应一个值。

比如这样：

MATLAB插值命令：
$$z=interp2(x_0,y_0,z_0,x,y{,}^{\prime }metho{d}^{\prime })$$
其中：
$x_0，y_0为已知节点,z_0是对应的值；$
$x_0,y_0分别为m纬、n纬向量，z为m\cdot n矩阵；$
$x,y是要插值的节点，z返回对应的插值得到的值；$
$method是插值方法，和一维插值相同：$
${}^{\prime }nearest{：}^{\prime }$最近项插值
${}^{\prime }linear{：}^{\prime }$线性插值
${}^{\prime }spline{：}^{\prime }$立方样条插值
${}^{\prime }cubic{：}^{\prime }$立方插值

例1：

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clear,clc

x=100:100:500;  %已知节点数据
y=100:100:400;
z=[636    697    624    478   450  
   698    712    630    478   420
   680    674    598    412   400
   662    626    552    334   310];

pp=csape({x,y},z') %采用3次样条插值

xi=100:10:500;yi=100:10:400;  %要插值的点
cz=fnval(pp,{xi,yi});          %返回字（xi，yi）处的值

[i,j]=find(cz==max(max(cz)))  %找最高点的地址
x=xi(i),y=yi(j),zmax=cz(i,j)  %求最高点的坐标 

二、插值节点为散乱节点

  散乱节点：给出了一些3维空间数据点的x、y、z坐标，但不像网格节点那样整齐。例1和例2一对比就明白了。

使用函数$griddata()$，常见形式和简要说明如下：

（1）vq = griddata(x,y,v,xq,yq)

  使 v = f(x,y) 形式的曲面与向量 (x,y,v) 中的散点数据拟合。griddata 函数在 (xq,yq) 指定的查询点对曲面进行插值并返回插入的值 vq。曲面始终穿过 x 和 y 定义的数据点。

（2）vq = griddata(x,y,z,v,xq,yq,zq)

  拟合 v = f(x,y,z) 形式的超曲面。

（3）vq = griddata(___,method)

  使用上述语法中的任何输入参数指定计算 vq 所用的插值方法。method 可以是 ‘linear’、‘nearest’、‘natural’、‘cubic’ 或 ‘v4’。默认方法为 ‘linear’。

（4）[Xq,Yq,vq] = griddata(x,y,v,xq,yq) 或[Xq,Yq,vq] = griddata(x,y,v,xq,yq,method)

  还返回 Xq 和 Yq，其中包含查询点的网格坐标。

更多内容请查阅帮助文档。

例2：

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clc, clear

x=[129,140,103.5,88,185.5,195,105,157.5,107.5,77,81,162,162,117.5];
y=[7.5,141.5,23,147,22.5,137.5,85.5,-6.5,-81,3,56.5,-66.5,84,-33.5];
z=-[4,8,6,8,6,8,8,9,9,8,8,9,4,9];

xmm=minmax(x)  %求x的最小值和最大值
ymm=minmax(y)  %求y的最小值和最大值

xi=xmm(1):xmm(2); %指定查询点（插值点）
yi=ymm(1):ymm(2);

%使 v = f(x,y) 形式的曲面与向量 (x,y,v) 中的散点数据拟合。
% griddata 函数在 (xq,yq) 指定的查询点对曲面进行插值并返回插入的值 vq。
% 曲面始终穿过 x 和 y 定义的数据点。
zi1=griddata(x,y,z,xi,yi','cubic'); %立方插值
zi2=griddata(x,y,z,xi,yi','nearest'); %最近点插值

zi=zi1;  %立方插值和最近点插值的混合插值的初始值
zi(isnan(zi1))=zi2(isnan(zi1))  %把立方插值中的不确定值换成最近点插值的结果

subplot(1,2,1), plot(x,y,'*')
subplot(1,2,2), mesh(xi,yi,zi)

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Addition：

（1）学会查看matlab帮助文档

matlab编程总会遇到很多没用过的函数，只要在MATLAB的命令行窗口输入

help 函数名

就可以看到他的简要帮助文本。

比如查询griddata这个函数的用法：

>> help griddata
griddata - 插入二维或三维散点数据

    此 MATLAB 函数 使 v = f(x,y) 形式的曲面与向量 (x,y,v) 中的散点数据拟合。griddata 函数在 (xq,yq)
    指定的查询点对曲面进行插值并返回插入的值 vq。曲面始终穿过 x 和 y 定义的数据点。

    vq = griddata(x,y,v,xq,yq)
    vq = griddata(x,y,z,v,xq,yq,zq)
    vq = griddata(___,method)

    另请参阅 delaunay, griddatan, interpn, meshgrid, ndgrid, scatteredInterpolant
    griddata 的参考页

但使用doc 函数名更好一些，会弹出一个帮助文档的窗口，这也是我常用的，里面还有很多例子，可以帮助你很好的理解。帮助文档里面可能有些内容是英文内容，但都很好理解，一读就能明白的。

matlab的命令行也可以使用键盘的上、下键来查看历史输入的命令。

（2）matlab脚本类型

matlab脚本分为脚本和实时脚本，后缀分别为.m和.mlx，类似于python文件中的普通py文件和notebook，大家可以试试matlab的实时脚本，.m文件中函数的补全可以通过Tab键完成，而.mlx会自动补全。还有其他更多的特性。

实时脚本如图所示：

（3）matlab三维绘图函数

matlab绘制三维图主要有3种类型：plot3、mesh、surf（当然pie3绘制3维饼图也算是个三维图吧，但他需要的数据仅仅是各个分类的数值，是一维数据），具体如下，更多内容可以自行查阅帮助文档。

plot3 三维曲线图；
mesh 三维网格图；
meshc 除了生成网格图外，还在xy平面生成曲面的等高线；
meshz 除了生成网格图外，还在曲线下面加上个矩形垂帘；
surf 三维着色曲面图；
surfc 同时画出三维着色曲面图与等高线；
surfl 带光照的三维着色曲面图。