Kernel Regression 核回归 详细讲解

Kernel Regression 核回归 详细讲解

传统的线性回归只能拟合一条直线，核回归作为拟合非线性模型的一种方法，本质是利用核函数作为权重函数来建立非线性回归模型的。
先总结一下核回归的结论：
利用核函数计算出$x_i$在$x$处的权重为：$$w_i=\frac{K(x,x_i)}{{\sum }_{i=1}^{N}K(x,x_i)}$$
$x_i$(观测数据点，也就是我们的数据集中的点)，$x$(要预测的点)
则在$x$处预测的$y$值为所有$y_i$的加权和： $$y=\sum _{i=1}^N{w}_i\ast y_i$$
接下来我们就从头开始讨论一下核回归，也称为局部线性回归。

一、首先介绍一下核函数

在非参数统计中，核是一个权重函数，并满足以下性质：

1. 核函数是对称的，最大值在曲线中间。下图展示的是高斯核函数：
   
2. 函数曲线下方面积必须等于1,即
   $${\int }_{-\infty }^{\infty }K(u)du=1$$
3. 核函数的值必须是非负的，即
   $$K(u)\ge 0,-\infty <u<\infty$$

二、核估计

在本篇中，主要讨论使用高斯核函数来拟合数据。高斯核函数的公式如下：
$$K(x)=\frac{1}{h\sqrt{2\pi }}{e}^{-0.5}{(\frac{x-x_i}{h})}^2$$

其中，$x_i$ 是观察到的数据点，$x$ 是需要计算核函数的值(可能表述不准确，但是看到后面就明白了)，$h$ 是带宽，带宽也叫做核回归的平滑参数。带宽对模型预测的影响稍后讨论。

举个例子

假设这里由6个数据点，代表6个学生某门课的成绩：
$$x_i=\left\{65,75,67,79,81,91\right\},i=1,2,3,4,5,6$$

现在需要围绕这6个数据点构建核曲线，构建核曲线需要三个输入，分别是：

• 观测数据点$x_i$
• 带宽$h$的值
• 线性间隔的一系列数据点，包括需要估计$K$值的观测数据点，如$X_j=\left\{50,51,52,...,99\right\}$。

根据给的观测数据点$x_i$和$h$计算所有$X_j$的$K$值，即核函数的值，下图的是观测数据点为$x_i=65$,$h=5.5$时所有$X_j$的的$K$值：

将以上数据画图显示出来，横坐标是$X_j$，纵坐标是$K$。以$x_i$为均值，$h$为标准差构建的核曲线，可以看到和高斯分布一样

同理，对于所有的6个观测数据点，每个数据点对应一个核曲线，如下图所示。可以看到，对于离$x_i$很远的$X_j$的$K$值几乎为0，如当$x_i=65$是，$X_j=99$的$K$值为0.

三、核回归

下面进入重点了，核回归！
上面求出来的核值也就是$K$值有什么用呢？核值用来计算权重以预测给定输入的输出，那如何计算权重以及如何使用权重来预测输出呢，接下来会详细介绍。

举个例子

下面给出了不同区域面积对应的河流量数据，区域面积与河流量之间是非线性关系，输入x也就是区域面积，输出y就是河流量。我们要做的就是建立x和y之间的非线性关系。

第一步：核作为权重函数
在上面我们已经讲解过了使用带宽为所有的观测数据点建立核曲线。接下来就要利用这些核曲线计算权重。这个例子中带宽使用了10。这个带宽需要根据数据进行调整以更好的拟合数据。下图展示了在不同x值处的核曲线：

注意：需要在所有的输入值x处建立核曲线，因为核回归的计算本质就是：给一个数据$x_i$，要预测其$y$值，就是计算所有观测数据$y$值的加权和，而每个观测数据$y$的权重就是其核曲线在$x_i$处的那个值。
结合上面那个图，我们计算一下当$x_i=50$的时候，如何预测它对应的y值。所有的核曲线在$x_i=50$处的值就是上图中标星星的位置：

就用这些K值来计算权重，每一个K值都是在0～1之间(因为核函数的性质，上面提到了)，计算权重的公式如下：

$w_i$就是输入数据i的权重，n是观测数据的总数，所以当$x_i=50$的时候，其预测对应的y值等于：

($y_{11}$表示区域面积是11的时候的河流量，$w_{11}$是对应的权重，根据上面那个式子计算出来的)
具体的计算数据由下表给出：

同理，对于任何$x$的值都由上面的过程估计，计算相应的$y$值，就可以绘出下图：

到这里，关于核回归大家应该都了解清楚了，之前的疑惑应该也消失了。那么进入最后一个部分，带宽的影响。

四、带宽的影响

上面的计算是基于$h=10$的，带宽对于预测的效果时有很大影响的，下图显示了带宽等于5，10，15的效果：



可以看到较小的带宽值会过拟合数据，因为带宽小，核曲线就会变窄，预测$x_i$处的y值的时候，$y_i$会被赋予很高的权重，相当于核曲线只关注了与$x_i$很近距离的y值，所以产生了过拟合。而当带宽过大时，预测曲线又会变得过渡平滑，欠拟合了没有办法表达出真实的输入与输出之间的关系。所以一般在核回归中带宽也是在回归过程中被优化的变量。

到这里，本文就结束了，希望可以帮助你。

参考：Kernel Regression